Введение
Человек различает окружающие его предметы по цвету, вкусу, запаху, форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть вызван жизненной необходимостью, а может быть и красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит принцип “золотого сечения”, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Классическими проявлениями золотого сечения являются предметы обихода, скульптура и архитектура, математика, музыка и эстетика. В предыдущем столетии с расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория сложных систем, и даже геология и астрономия. Ежегодно издаются несколько книг, посвященных этой проблеме, постоянно расширяя область приложения золотого сечения. Авторы этих исследований связывают золотое сечение с такими несовместимыми, на первый взгляд понятиями, как красота, асимметрия, рекурсия, самоорганизация и пропорция. За последние годы появились интересные интернет-сайты, посвященные золотому сечению.
Цели и задачи:
Цель работы: изучить золотое сечение и золотые треугольники.
Задачи работы:
1.Изучить понятие о золотом сечении
2. Узнать о золотых треугольниках
3. Найти золотое сечение в выбранном фото и картине.
Определение Золотого сечения
Как известно, «золотая» пропорция создаёт зрительное ощущение гармонии и равновесия. Но помимо эстетических воздействий она обладает ещё интересными математическими свойствами. Существует бесконечное множество разбиений отрезка на две части. И лишь единственный способ разбиения такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к его меньшей части, т.е. с: b = b: а
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) - деление величины (например, длины отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Или, если использовать вычисленную величину золотого сечения, - это деление величины на две части - 62 % и 38 % (процентные значения округлены). Число называется также золотым числом. Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887. Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется отрезком с точкой А. На отрезке AC от точки С откладывается отрезок, равный ВС, заканчивающийся точкой D. На отрезке AB от точки А откладываем отрезок АЕ, равный отрезку AD. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
История Золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле также заложены пропорции золотого деления. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в “Началах” Евклида. Во 2-й книге “Начал” дается геометрическое построение золотого деления. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам “Начал” Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи. «Пусть никто не будучи математиком, не посмеет читать мои труды.». Он, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась “О перспективе в живописи”. Его считают творцом начертательной геометрии.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя “Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности”.
Золотые треугольники
Существуют золотые прямоугольники треугольники пятиугольники и спирали. Рассмотрим золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками. Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения золотого прямоугольника.
Золотое сечение в архитектуре и живописи
Рассмотрим строения города Сургута. Во многих постройках присутствует золотое сечение, однако золотой треугольник не так часто встречается в архитектуре города. На фото представлена церковь Всех Святых. На этой фотографии соблюдаются пропорции золотого треугольника.
Медведева Олеся Анатольевна – югорская художница. Она живет и работает в городе Нижневартовск. Является участницей городских, областных, окружных, зональных, всероссийских, международных выставок. Одна из её картин показывает, что золотые треугольники встречаются также и в живописи.
Заключение
Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит как бы из двух частей: живая и неживая природа. Для творений неживой природы характерна высокая устойчивость, слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения". Повсюду мы встречаем золотое сечение, но лишь обратив на него свое пристальное внимание, мы сможем увидеть истинную красоту.
Список литературы
1. Азевич А.И. От золотой пропорции к ее "производным". // Квант – 1995. - № 3. – С. 55.
2. Хинн О.Г. под общ. Ред. ООО «Издательство АСТ-ЛТД» 2004 г. «Я познаю мир: математика».
3. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.
4. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики, 10-11. – М.: Просвещение, 1996.
5. Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1992.
6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов. – М.: Мнемозина, 2005
Ещё в древнем Египте было известно Золотое сечение , Леонардо да Винчи и Евклид изучали свойства его. Зрительное восприятие человека устроено таким образом, что он различает по форме все предметы, которые его окружают. Его интерес к предмету или его форме, продиктован иногда необходимостью, или этот интерес могла вызвать красота предмета. Если в самой основе построения формы, использовано сочетание золотого сечения и законы симметрии, то это наилучшее сочетание для визуального восприятия человеком, который ощущает гармонию и красоту. Всё целое состоит из частей, больших и малых, и эти разной величины части имеют определённое отношение, как друг к другу, так и к целому. А высшее проявление функционального и структурного совершенства в природе, науке, искусстве, архитектуре и технике это Принцип золотого сечения . Понятие о золотом сечении ввел в научный обиход древнегреческий математик и философ (VI в. до н.э.) Пифагор. Но само знание о золотом сечении он позаимствовал у древних египтян. Пропорции всех построек храмов, пирамиды Хеопса, барельефов, предметы быта и украшения из гробниц показывают, что соотношение золотого сечения активно использовалось древними мастерами ещё задолго до Пифагора. Как пример: барельеф из храма Сети I в Абидосе и в барельефе Рамзеса использован принцип золотого сечения в пропорциях фигур. Выяснил это архитектор Ле Корбюзье. На деревянной доске извлечённой из гробницы Зодчего Хесира, изображен рельефный рисунок, на котором виден сам зодчий, держащий в руках инструменты для измерений, которые изображены в положении фиксирующем принципы золотого сечения . Знал о принципах золотого сечения и Платон (427...347 гг. до н.э.). Диалог «Тимей» тому доказательство,так как он посвящен вопросам золотого деления , эстетическим и математическим воззрениям школы Пифагора. Принципы Золотого сечения использованы древнегреческими архитекторами в фасаде храма Парфенона. Циркули которые применяли в своей работе древние архитекторы и скульпторы античного мира были обнаружены при раскопках храма Парфенона.
Парфенон, Акрополь., Афины В Помпеях (музей в Неаполе) пропорции золотого деления так же имеются в наличии. В античной литературе дошедшей до нас принцип золотого сечения упоминается впервые в «Началах» Евклида. В книге «Начал» во второй части дается геометрический принцип золотого сечения . Последователями Евклида стали Папп (III в. н.э.) Гипсикл (II в. до н.э.), и др. В средневековую Европу с принципом золотого сечения познакомились по переводам с арабского Евклидовских «Начал». Принципы золотого сечения были известны только узкому кругу посвященных,они ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Наступила эпоха возрождения и интерес к принципам золотого сечения увеличивается в среде учёных и художников так как этот принцип применим и в науке, и в архитектуре, и в искусстве. И Леонардо Да Винчи стал использовать эти принципы в своих произведениях, даже более того он начал писать книгу по геометрии, но но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, который опередил его и выпустил в свет книгу «Божественная пропорция» после чего Леонардо оставил свой труд не законченным. По оценкам историков науки и современников, Лука Пачоли являлся настоящим светилом, гениальным Итальянским математиком в проживавшим в период между Галилеем и Фибоначчи. Являясь учеником художника Пьеро делла Франчески, Лука Пачоли написал две книги, «О перспективе в живописи», название одной из них. Он по мнению многих является творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли по приглашению герцога Моро в 1496 г приезжает в Милан, и читает там лекции по математике. Леонардо да Винчи в это время работал при дворе Моро. Изданная в 1509 году в Венеции книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» стала восторженным гимном золотой пропорции , с иллюстрациями прекрасно выполненными, есть все основания полагать что иллюстрации выполнил сам Леонардо да Винчи. Монах Лука Пачоли, как одно из достоинств золотой пропорции выделял её «божественную суть». Понимая научную и художественную ценность золотого сечения,Леонардо да Винчи посвящал много времени для его изучения. Выполняя сечение стереометрического тела, состоящего из пятиугольников, он получал прямоугольники с отношениями сторон в соответствии с золотым сечением . И название он ему дал “золотое сечение ”. Которое держится до сих пор. Альбрехт Дюрер,так же занимается изучением золотого сечения в Европе, встречается с монахом Лукой Пачоли. Иоган Кеплер величайший астроном того времени, первым обращает внимание на значение золотого сечения для ботаники называя его сокровищем геометрии. Он называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Она так устроена, – он говорил, – сумма двух младших членов нескончаемой пропорции дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Золотой треугольник:: Золотое отношение и Золотое Сечение:: Золотой прямоугольник:: Золотая спираль
Золотой треугольник
Что бы найти отрезки золотой пропорции нисходящего и восходящего рядов воспользуемся пентаграммой.
Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
Для того чтобы построить пентаграмму нужно начертить правильный пятиугольник по разработанному немецким живописцем и графиком Альбрехтом Дюрером, способом построения. Если O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Используя циркуль, отметим отрезок на диаметре CE = ED. Тогда длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Затем через один угол соединяем углы пятиугольника диагоналями и получим пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
Рис. 6. Построение золотого
треугольника
Золотое сечение и Золотое Сечение
В математике и искусстве, две величины находятся в золотой пропорции, если соотношение между суммой этих величин и большиего такое же, как соотношение между большего и меньшего.
Выразил алгебраически:
Золотое сечение часто обозначается греческой буквой фи (? или?).
фигура золотого сечения иллюстрирует геометрические отношения, которые определяют эту константу. Золотое сечение является иррациональной математической константой, примерно 1,6180339887.
Золотой прямоугольник
Золотой прямоугольник представляет собой прямоугольник, длины сторон находятся в золотой пропорции, 1:
?
(один-к-фи), то есть 1: или примерно 1:1.618.
Золотой прямоугольник может быть построен только с линейкой
и циркулем:
1. Построить простой квадрат
2. Нарисуйте линию от середины одной стороны площади к противоположному углу
3. Используйте эту линию в качестве радиуса, чтобы нарисовать дугу, которая определяет высоту прямоугольника
4. Завершить золотой прямоугольник
Золотая спираль
В геометрии, золотой спиралью является логарифмическая спираль, фактор роста которой b связано с
?
, золотым сечением. В частности, золотая спираль становится более широкой (дальше от места ее начала) на коэффициент ?
для каждой четверти оборота который она делает. 
Последовательные точки деления золотого прямоугольника на квадраты, лежат на логарифмической спирали, которая иногда известна как золотая спираль.
Золотое сечение в архитектуре и искусстве.
Многие архитекторы и художники свои работы исполняли в соответствии с пропорциями золотого сечения, особенно в виде золотого прямоугольника, в котором отношение большей стороны к меньшей имеет пропорции золотого сечения, полагая, что это соотношение будет эстетично. [ Источник: Wikipedia.org ]
Вот несколько примеров:
Парфенон, Акрополь., Афины . Этот древний храм подходит почти точно в золотой прямоугольник.
Витрувианский Человек Леонардо да Винчи можно сделать много линий прямоугольников в эту цифру. Затем, существуют три различных набора золотых прямоугольников: Каждый набор для области головы, туловища, и ног. Рисунок Леонардо Да Винчи Витрувианский Человек иногда путают с принципами "золотого прямоугольника", однако, это не так. Построение Витрувианского Человека основано на рисовании круга с диаметром, равным диагонали квадрата, перемещая его вверх таким образом, что он будет касаться основания квадрата и составление окончательного круга между основанием площади и средней точке между площадью центра квадрата и центра круга: Подробное объяснение о геометрических строительство >>
Золотое сечение в природе.
Адольф Цейзинг, чьи основные интересы были математика и философия, нашел золотую пропорцию в расположении ветвей вдоль стебля растения и прожилок в листьях. Он расширил свои исследования и от растений перешёл к животным, изучая скелеты животных и разветвлений их вен и нервов, а так же в пропорциях химических соединений и геометрии кристаллов, вплоть до использования золотого сечения в изобразительном искусстве. В этих явлениях, он увидел, что золотая пропорция используется везде в качестве универсального закона, Цейзинг написал в 1854 году.:
Золотое сечение является универсальным законом, в котором содержится основной принцип формирующий стремление к красоте и полноте в таких областях, как природы, так и искусства, которая пронизывает, как первостепенный духовный идеал, всех структур, форм и пропорций, будь то космическое или физическое лицо, органическое или неорганическое, акустическое или оптическое, но свою наиболее полную реализацию принцип золотого сечения находит, в человеческой форме.
Примеры:
Срез оболочки Nautilus открывает золотой принцип построения спирали.
Моцарт разделил свои сонаты на две части, длины которых отражают золотое сечение
, хотя существует много споров о том, сознательно ли он это сделал. В более современные времена, венгерский композитор Бела Барток и французский архитектор Ле Корбюзье целенаправленно включали принцип золотой пропорции в свои работы.
Даже сегодня, золотое сечение
окружает нас повсеместно в искусственных предметах. Посмотрите на практически любой христианский крест, отношение вертикальной части к горизонтальной золотая пропорция. Чтобы найти золотой прямоугольник, посмотрите в своём бумажнике, и вы найдёте там кредитные карты.
Несмотря на эти многочисленные доказательства приведённые в произведениях искусства созданные на протяжении веков, в настоящее время ведутся дискуссии среди психологов о том, действительно ли люди воспринимают золотые пропорции, в частности, золотой прямоугольник, как более красивым, чем другие формы. В 1995 году статье в журнале, профессор Кристофер Грин,
из Йоркского университета в Торонто, обсуждает ряд экспериментов на протяжении многих лет, которые не показали какого либо предпочтение форме золотой прямоугольник, но отмечает, что некоторые другие представили доказательства того, что такое предпочтение не существует.
Но независимо от науки, золотое сечение сохраняет свою загадочность, отчасти потому, что отлично применяется во многих неожиданных местах в природе. Спираль
раковины моллюска Наутилус удивительно близка к золотому сечению
, и отношение длины грудной клетки и живота у большинства пчел почти золотое сечение
. Даже сечения из наиболее распространенных форм человеческой ДНК прекрасно вписывается в золотой десятиугольник.
Золотое сечение
и его родственники также появляются во многих неожиданных контекстах, в математике, и они продолжают вызвать интерес математических сообществ.
Д-р Стивен Марквардт, бывший пластический хирург, использовал эту загадочную пропорцию золотое сечение
, в своей работе, которое уже давно отвечает за красоту и гармонию, чтобы сделать маску, которую он считал самой красивой формой человеческого лица которое только может быть.
Маска совершенного человеческого лица
Египетская царица Нефертити (1400 до н.э.)
лицо Иисуса копия с Туринской плащанице и исправлено в соответствии с маской д-ра Стивена Марквардта.
«Усредненное» (синтезированное) лицо из числа знаменитостей. С пропорциями золотого сечения.
Использовались материалы сайта: http://blog.world-mysteries.com/
Любому человеку, которому хотя бы косвенно приходилось сталкиваться с геометрией пространственных объектов в интерьерном дизайне и архитектуре, наверняка хорошо известен принцип золотого сечения. Еще недавно, несколько десятков лет назад, популярность золотого сечения была настолько высокой, что многочисленные сторонники мистических теорий и устройства мира его называют универсальным гармоническим правилом.
Сущность универсальной пропорции
Удивительно другое. Причиной предвзятого, почти мистического отношения к столь простой числовой зависимости послужило несколько необычных свойств:
- Большое количество объектов живого мира, от вируса до человека, имеют основные пропорции тела или конечностей, очень близкие к значению золотого сечения;
- Зависимость 0,63 или 1,62 характерна только для биологических существ и некоторых разновидностей кристаллов, неживые объекты, от минералов до элементов ландшафта, обладают геометрией золотого сечения крайне редко;
- Золотые пропорции в строении тела оказались наиболее оптимальными для выживания реальных биологических объектов.
Сегодня золотое сечение находят в строении тела животных, панцирей и раковин моллюсков, пропорций листьев, веток, стволов и корневых систем у достаточно большого числа кустарников и трав.
Многими последователями теории универсальности золотого сечения неоднократно предпринимались попытки доказать тот факт, что его пропорции являются наиболее оптимальными для биологических организмов в условиях их существования.
Обычно в качестве примера приводится устройство раковины Astreae Heliotropium, одного из морских моллюсков. Панцирь представляет собой свернутую спиралью кальцитовую оболочку с геометрией, практически совпадающей с пропорциями золотого сечения.
Более понятным и очевидным примером является обычное куриное яйцо.
Соотношение основных параметров, а именно, большого и малого фокуса, или расстояний от равноудаленных точек поверхности до центра тяжести, будет также соответствовать золотому сечению. При этом форма скорлупы птичьего яйца является наиболее оптимальной для выживания птицы, как биологического вида. При этом прочность скорлупы играет далеко не главную роль.
К сведению! Золотое сечение, называемое еще универсальной пропорцией геометрии, было получено в результате огромного количества практических измерений и сравнений размеров реальных растений, птиц, животных.
Происхождение универсальной пропорции
О золотой пропорции сечения знали древнегреческие математики Евклид и Пифагор. В одном из памятников древней архитектуры — пирамиде Хеопса соотношение сторон и основания, отдельные элементы и настенные барельефы выполнены в соответствии с универсальной пропорцией.
Методика золотого сечения широко использовалась в средние века художниками и архитекторами, при этом суть универсальной пропорции считалась одной из тайн вселенной и тщательно скрывалась от простого обывателя. Композиция многих картин, скульптур и зданий выстраивалась строго в соответствии с пропорциями золотого сечения.
Впервые суть универсальной пропорции документально была сформулирована в 1509 г монахом-францисканцем Лукой Пачоли, обладавшим блестящими математическими способностями. Но настоящее признание состоялось после проведения немецким ученым Цейзингом всестороннего изучения пропорций и геометрии человеческого тела, древних скульптур, произведений искусства, животных и растений.
У большинства живых объектов некоторые размеры тела подчиняются одним и тем же пропорциям. В 1855 г ученым был сделан вывод о том, что пропорции золотого сечения являются своеобразным стандартом гармонии тела и формы. Речь идет, прежде всего, о живых существах, для мертвой природы золотое сечение встречается значительно реже.
Как получили золотое сечение
Пропорцию золотого сечения проще всего представить, как отношение двух частей одного объекта разной длины, разделенных точкой.
Проще говоря, сколько длин маленького отрезка поместится внутри большого, или отношение самой большей из частей ко всей длине линейного объекта. В первом случае соотношение золотого сечения составляет 0,63, во втором варианте соотношение сторон равняется 1,618034.
На практике золотое сечение представляет собой всего лишь пропорцию, соотношение отрезков определенной длины, сторон прямоугольника или других геометрических форм, родственных или сопряженных размерных характеристик реальных объектов.
Первоначально золотые пропорции были выведены эмпирическим путем с помощью геометрических построений. Существует несколько способов построения или выведения гармонической пропорции:
К сведению! В отличие от классического золотого соотношения, архитектурная версия подразумевает соотношение сторон отрезка в пропорции 44:56.
Если стандартный вариант золотого сечения для живых существ, живописи, графики, скульптур и античных построек рассчитывался, как 37:63, то золотое сечение в архитектуре с конца XVII века все чаще стало использоваться 44:56. Большинство специалистов считают изменение в пользу более «квадратных» пропорций распространением высотного строительства.
Главный секрет золотого сечения
Если природные проявления универсального сечения в пропорциях тел животных и человека, стеблевой основы растений еще можно объяснить эволюцией и приспосабливаемостью к влиянию внешней среды, то открытие золотого сечения в строительстве домов XII-XIX века стало определенной неожиданностью. Мало того, знаменитый древнегреческий Парфенон был построен с соблюдением универсальной пропорции, многие дома и замки состоятельных вельмож и зажиточных людей в средние века строились сознательно с параметрами, очень близкими к золотому сечению.
Золотое сечение в архитектуре
Многие из построек, сохранившихся до сегодняшних дней, свидетельствуют, что архитекторы средневековья знали о существовании золотого сечения, и, конечно, при строительстве дома руководствовались своими примитивными расчетами и зависимостями, с помощью которых пытались добиться максимальной прочности. Особенно проявлялось желание строить максимально красивые и гармоничные дома в постройках резиденций царствующих особ, церквей, ратуш и зданий, имеющих особое социальное значение в обществе.
Например, знаменитый собор Парижской богоматери в своих пропорциях имеет немало участков и размерных цепей, соответствующих золотому сечению.
Еще до публикации своих исследований в 1855 году профессором Цейзингом, в конце XVIII века были построены знаменитые архитектурные комплексы Голицынской больницы и здания сената в Санкт-Петербурге, дома Пашкова и Петровского дворца в Москве с использованием пропорций золотого сечения.
Разумеется, дома с точным соблюдением правила золотого сечения строили и ранее. Стоит упомянуть памятник древней архитектуры церкви Покрова на Нерли, изображенный на схеме.
Всех их объединяет не только гармоничное сочетание форм и высокое качество строительства, но и, в первую очередь, наличие золотого сечения в пропорциях здания. Удивительная красота постройки становится еще более загадочной, если принять во внимание возраст, здание церкви Покрова датируется XIII веком, но современный архитектурный облик постройка получила на рубеже XVII века в результате реставрации и перестройки.
Особенность золотого сечения для человека
Старинная архитектура зданий и домов средневековья остается притягательной и интересной для современного человека по многим причинам:
- Индивидуальный художественный стиль в оформлении фасадов позволяет избежать современного штампа и серости, каждое здание представляет собой произведение искусства;
- Массовое использование для декорирования и украшения статуй, скульптур, лепнины, необычных сочетаний строительных решений разных эпох;
- Пропорции и композиции здания притягивают взор к наиболее важным элементам постройки.
Важно! При проектировании дома и разработке внешнего вида средневековые архитекторы применяли правило золотого сечения, неосознанно используя особенности восприятия подсознания человека.
Современные психологи экспериментально доказали, что золотое сечение является проявлением неосознанного желания или реакции человека на гармоничное сочетание или пропорцию в размерах, формах и даже цветах. Был проведен эксперимент, в ходе которого группе людей, незнакомых между собой, не имеющих общих интересов, разных профессий и возрастных категорий, предложили ряд тестов, среди которых была задача согнуть лист бумаги в наиболее оптимальной пропорции сторон. По результатам тестирования было установлено, что в 85 случаях из 100 лист сгибался испытуемыми практически точно по золотому сечению.
Поэтому современная наука считает, что феномен универсальной пропорции является психологическим явлением, а не действием каких-либо метафизических сил.
Использование фактора универсального сечения в современном дизайне и архитектуре
Принципы применения золотой пропорции в последние несколько лет стали необыкновенно популярны в строительстве частных домов. На смену экологии и безопасности строительных материалов пришли гармоничность конструкции и правильное распределение энергии внутри дома.
Современная интерпретация правила всеобщей гармонии давно распространилась за пределы привычной геометрии и формы объекта. Сегодня правилу подчиняются не только размерные цепи длины портика и фронтона, отдельных элементов фасада и высоты здания, но и площадь комнат, оконных и дверных проемов, и даже цветовая гамма внутреннего интерьера помещения.
Проще всего построить гармоничный дом на модульной основе. В этом случае большинство отделений и комнат изготавливаются в виде самостоятельных блоков или модулей, спроектированных с соблюдением правила золотого сечения. Построить здание в виде набора гармоничных модулей значительно проще, чем строить одну коробку, в которой большая часть фасада и внутренних помещений должна быть в жестких рамках пропорций золотого сечения.
Немало строительных фирм, выполняющих проектирование частных домовладений, используют принципы и понятия золотого сечения для увеличения сметы и создания у клиентов впечатления глубокой проработки конструкции дома. Как правило, такой дом декларируется, как очень удобный и гармоничный в пользовании. Правильно подобранное соотношение площадей комнат гарантирует душевный комфорт и отменное здоровье хозяев.
Если дом был построен без учета оптимальных соотношений золотого сечения, можно выполнить перепланировку комнат так, чтобы пропорции помещения соответствовали соотношению стен в пропорции 1:1,61. Для этого может перемещаться мебель или устанавливаться дополнительные перегородки внутри комнат. Аналогичным образом меняются размеры оконных и дверных проемов так, чтобы ширина проема была меньше высоты дверного полотна в 1,61 раза. Таким же способом выполняется планирование мебели, бытовой техники, отделки стен и пола.
Сложнее выбрать цветовое оформление. В этом случае вместо привычного соотношения 63:37 последователями золотого правила принята упрощенная трактовка - 2/3. То есть основной цветовой фон должен занимать 60% пространства помещения, оттеняющему цвету отдают не более 30%, и остальное отводится под различные родственные тона, призванные усилить восприятие цветового решения.
Внутренние стены помещения делятся горизонтальным поясом или бордюром на высоте 70 см, установленная мебель должна соизмеряться с высотой потолков по соотношению золотого сечения. То же правило касается распределения длин, например, размер дивана не должен превышать 2/3 длины простенка, а общая площадь, занимаемая мебелью, относится к площади комнаты, как 1:1,61.
Золотую пропорцию сложно в массовом порядке применять на практике из-за всего лишь одного значения сечения, поэтому при проектировании гармоничных зданий нередко прибегают к ряду чисел Фибоначчи. Это позволяет расширить количество возможных вариантов пропорций и геометрических форм основных элементов дома. В этом случае ряд чисел Фибоначчи, связанных между собой четкой математической зависимостью, называют гармоническим или золотым.
В современной методике проектирования жилья на основе принципа золотого сечения, кроме ряда Фибоначчи, широко используется принцип, предложенный известным французским архитектором Ле Корбюзье. В этом случае в качестве отправной единицы измерения, по которой рассчитываются все параметры здания и внутреннего интерьера, выбирается рост будущего владельца или средняя высота человека. Такой подход позволяет спроектировать дом не только гармоничный, но и по-настоящему индивидуальный.
Заключение
На практике, по отзывам тех, кто решился на строительство дома по правилу золотого сечения, качественно построенное здание действительно оказывается достаточно удобным для проживания. Но стоимость строения из-за индивидуального проектирования и применения стройматериалов нестандартных размеров возрастает на 60-70%. И в этом подходе нет ничего нового, так как большинство зданий прошлого века строилось именно под индивидуальные особенности будущих хозяев.
Аэрография основывается на тех же "столпах", что и другие виды искусства.
Весь наш мир можно описать числами. Многие числа играют настолько значительную роль в этом описании, что имеют собственные имена: Пи, экспанента (е) и т.д. Среди этих "именных" чисел есть весьма замечательное. Математики, художники, архитекторы в разные времена называли его «золотое число», «божественное число», «божественное сечение». Термин «золотое сечение» придумал Клавдий Птолемей, а популярным он стал благодаря Леонардо Да Винчи , который широко использовал его в своих работах. Люди искусства заметили, что пропорции форм, которые особенно приятны глазу для восприятия, в основе своей имеют «золотое сечение».
Так что же это за число? Золотым сечением называется число Фи (Phi) равное 1,61803. Число названо в честь великого древнегреческого скульптора Фидия (Phidius), который использовал его в своих скульптурах. Как наглядно продемонстрировать принцип «золотого сечения»? Приведем простой пример. Если построить прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой, то полученное соотношение сторон и представляет собой «золотое сечение». Самые распространенные «золотые прямоугольники» в современном мире - это кредитные карты. Человеческое тело считается красивым, а его пропорции - идеальными, если соотношение между меньшей и большей частью тела равно соотношению между большей частью и целым, то есть равно числу Фи.
***
Известнейшим математическим сочинением античной науки являются «Начала» Евклида. Именно из «Начал» к нам пришла геометрическая задача «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Что и является самим «Золотым сечением».
Суть задачи такова:
Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части отрезка АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ, т. е.
Обозначим пропорцию (1.1) через х. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, пропорцию (1.1) можно записать в следующем виде:
Откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомой пропорции х:
х*
= х + 1. (1.2)
x* - в квадрате
Из «физического смысла» пропорции (1.1) вытекает, что искомое решение уравнения (1.2) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (1.2), который мы обозначим через , то есть
Приближенное значение золотой пропорции равно:
= 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203…
ЗОЛОТЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
На основе вышеизложенных пропорций в геометрии определены такие понятия золотых геометрических фигур:
- золотой прямоугольник (в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции);
- золотой прямоугольный треугольник;
- золотой эллипс;
- золотой равнобедренный треугольник.
Прямоугольный треугольник со сторонами 3:4:5 называется «совершенным», «священным» или «египетским».
Создатели египетских пирамид выбрали в качестве «главной геометрической идеи» для пирамиды Хеопса - золотой прямоугольный треугольник, а для пирамиды Хефрена – «священный» треугольник.
Пентагон («pentagonon» - греч.), правильный пятиугольник. Если в пентагоне провести все диагонали, то в результате мы получим пятиугольную звезду, называемую пентаграммой («pentagrammon» - греч.: «pente» - пять и «grammon» - линия) или пентаклом.
Пентаграмма, называемая в народных поверьях «ведьминой стопой», играла большую роль во всех магических науках и рассматривалась как средство защиты от злых духов.
Каждые восемь лет планета Венера описывает абсолютно правильный пентакл по большому кругу небесной сферы.
Здание «Пентагона», военного ведомства США имеет форму пентагона.
Пентагон и пентакл включают в себя ряд замечательных фигур, которые широко использовались в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый закон золотой чаши, которые использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть пентагона дает схематическое представление золотой чаши.
Когда-то в Советском Союзе существовал Государственный знак качества, в котором явно просматриваются мотивы золотой чаши.
В живой природе широко распространены формы, основанные на пентагональной симметрии – морские звезды, морские ежи, цветы..
ГАРМОНИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
(краткий обзор истории искусства)
Эталоном красоты человеческого тела, образцом гармонического телосложения издав-на и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя. В своих творениях греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя Дорифора, изваянная Поликтетом в V веке до н. э. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с Золотым сечение. М=0,618…
Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является од-ним из лучших памятников греческого скульптурного искусства.
Леонардо Да Винчи использовал пропорции Золотого сечения во многих своих самых знаменитых произведениях, и в частности, в «Тайной вечере» и знаменитой «Джоконде».
Исследователи картины «Джоконда» обнаружили, что композиционное построение кар-тины основано на двух золотых треугольниках, повернутых друг к другу своими основаниями. Гармонический анализ картины показывает, что зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения. Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение.
Картина «Святое семейство» Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле.
Пропорции статуи Давида (работы Микеланджело) основаны на Золотом сечении.
Яркий пример архитектуры барокко, Смольный собор в Санкт-Петербурге, производит неизгладимое впечатление. В его основных пропорциях так же усматривается Золотое сечение.
На знаменитой картине Ивана Шишкина «Корабельная роща» просматриваются мотивы Золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину Золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны – освещенный солнцем при-горок. Он делит картину Золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится много сосен – можно продолжить деление Золотым сечением по горизонтали левой части картины. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении Золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия.
Строительство штаб-квартиры ООН в Нью-Йорке было завершено в 1943 году. Здание привлекло тогда всеобщее внимание не только как общественное сооружение, созданное с применением новейших архитектурных средств, но и как первый пример использования сплошного солнцемодулирущего экрана на одном из фасадов. В этом здании также просматриваются мотивы Золотого сечения. В композиции здания четко выделяются три поставленных друг на друга золотых прямоугольника, которые и являются его главной архитектурной идеей.
Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении Золотого сечения. В музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно Золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золоте сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).
Если музыка – гармоническое упорядочение звуков, то поэзия – гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определенного момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции. Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая – на 38-ю (38%) и т. д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе «Евгений Онегин» - тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.
Один из современных видов искусства – кинематограф, - вобравший в себя драматургию действия, живопись, музыку. В выдающихся произведениях киноискусства право-мерно искать проявления Золотого сечения. Первым это сделал создатель шедевра мирового кино «Броненосец «Потемкин» кинорежиссер Сергей Эйзенштейн. В построении этой картины он сумел воплотить основной принцип гармонии – Золотое сечение. Как отмечает сам Эйзенштейн, красный флаг на мачте восставшего броненосца (точка апогея фильма) взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма.
В течение многих тысячелетий Золотое сечение было объектом восхищения и поклонения выдающихся ученых и мыслителей: Пифагора, Платона, Евклида, Луки Пачоли, Иоганна Кеплера, Павла Флоренского…
В настоящее время Золотое сечение оказывается источником новых плодотворных идей в математике и теоретической физике, биологии и ботанике, экономике и компьютерной науке…
Материал сформирован по книге «Код да Винчи и ряды Фибоначчи» А. Стахова, А. Слученковой, И. Щербакова, 2007 года выпуска, издательства «Питер».
Композиция - это распределение предметов и фигур в пространстве, установление соотношения объёмов, света и тени, цвета и т. п. Существуют разные способы и правила для создания гармоничной композиции. Когда мы смотрим вокруг невооруженным глазом, наш мозг быстро выхватывает интересные сюжеты, объекты. Камера же фиксирует все подряд. Поэтому это ваша задача выбрать основной объект, сделать центром внимания в кадре, а окружающие его другие объекты превратить в фон или сделать частью истории, которую Вы хотите «рассказать» своим снимком.
Фотографии с правильно выбранной композицией заставляют задержать на них взгляд и рассмотреть детали. Они рассказывают историю, создают настроение и заставляют задуматься.
Золотое сечение в фотографии - основной и мощный инструмент для получения динамичных, интересных снимков. Правило золотого сечения встречается и в природе, причем повсеместно. О нем знали еще в древнем Египте. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. Этот феномен изучил и стал применять на практике известный ученый, художник и скульптор Леонардо Да Винчи .
Для желающих узнать больше - видео:
Мы затронем только практическую часть применения золотого сечения в фотографии. Кадр условно делиться на три части по горизонтали и вертикали:
При пересечении горизонтальной и вертикальной линии образуется особая точка - «точка силы» или «узел внимания» . Их четыре - именно в этих точках лучше располагать главные объекты кадра, именно на них останавливается взгляд в независимости от формата кадра или картины.
Практические советы:
- Если расположитьлинию горизонта по одной из горизонтальных линий, то кадр будет смотреться гармоничней. Но на какой из линий, на верхней или нижней ?
- Если вы хотите сконцентрировать внимание зрителя на земле или воде - то лучше на верхней .
- Если же вы делаете акцент на интересном, выразительном небе - то на нижней .
- Если вы снимаете портрет, то лучше размещать глаза на верхней горизонтальной линии.
- Если вы снимаете человека в полный рост, то лучше размещать его на правой или левой вертикальной линии.
- Очень важно следить за тем, в какую сторону направляется человек, или куда направлен его взгляд. Например, если человек смотрит влево , то его соответственно необходимо разместить на правой горизонтальной линии, что бы перед ним оставалось пространство.
В современных фотоаппаратах уже есть функция-подсказка, которая отображает линии правила третей на мониторе или в видоискателе.
Размещайте важные части композиции вдоль линий, а самое главное — на их пересечении .
Золотое сечение может прослеживаться не только в прямоугольной сетке, но и в диагоналях или спирали. Принцип расположения предметов - тот же, по основным линиям и в точках их пересечений.
ДИАГОНАЛЬНОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Применяя правило золотого сечения проводим диагонали и получаем прямоугольник состоящий из трех секторов. Этот прямоугольник можно поворачивать как угодно Если скомпонуете свой кадр так, чтобы три разных объекта примерно располагались в этих секторах, а главные объекты в более крупных секциях - то композиция будет выглядеть очень гармонично.
Это правило используется, если у вас в кадре есть несколько областей, различающихся по смыслу.
СПИРАЛЬНОЕ ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Спирали очень распространены в природе. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Гёте называл спираль - «кривой жизни».
Используя эту спираль при построении композиции в кадре (ее можно перевернуть вверх ногами или в другую сторону), мы получим кадр с четко выраженным предметом в центре спирали.
Фото: Джона Лемьё (John Lemieux)
Больше фотографируйте и экспериментируйте. Удачи!
