Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности, гибкости и рациональности мышления.
Предлагаемые материалы предназначены для учащихся 8 класса и включают в себя теоретические основы тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, типы задач на преобразование таких выражений и текст контрольной работы .
1. Теоретические основы тождественных преобразований
Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – алгебраические выражения.
В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения.
Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а , b , с , … не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень.
Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называются иррациональными относительно этой переменной.
Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве.
В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты.
1. Свойства степеней с целым показателем:
, n
ÎN; а
1=а
;
, n ÎN, а ¹0; а 0=1, а ¹0;
, а
¹0;
, а ¹0;
, а ¹0;
, а ¹0, b ¹0;
, а
¹0, b
¹0.
2. Формулы сокращенного умножения:
где а , b , с – любые действительные числа;
Где а
¹0, х
1 и х
2 – корни уравнения 
.
3. Основное свойство дроби и действия над дробями:
, где b
¹0, с
¹0;
; 
;
4. Определение арифметического корня и его свойства:
; , b
¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
где а , b – неотрицательные числа, n ÎN, n ³2, m ÎN, m ³2.
1. Типы упражнений на преобразование выражений
Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип : явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить.
Например.
1. Представьте в виде многочлена .
При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных слагаемых.
2. Разложите на множители: 
.
При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя за скобку и 2 формулы сокращенного умножения.
3. Сократите дробь:
.
При выполнении преобразования использовали вынесение общего множителя за скобку, переместительный и сократительный законы, 2 формулы сокращенного умножения, действия над степенями.
4. Вынесите множитель из-под знака корня, если а ³0, b ³0, с ³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Использовали правила действий над корнями и определение модуля числа.
5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 
.
Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более компактный вид, чем данное, или получился числовой результат.
Например
6. Упростите выражение:
Решение:
.
Использовали правила действий над алгебраическими дробями и формулы сокращенного умножения.
7. Упростить выражение:
.
Если а ³0, b ³0, а ¹b .
Использовали формулы сокращенного умножения, правила сложения дробей и умножения иррациональных выражений, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Использовали операцию выделения полного квадрата, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, если .
Доказательство:
Так как , то и или или или , т. е. .
Использовали условие и формулу суммы кубов.
Надо иметь в виду, что условия, связывающие переменные, могут быть заданы и в упражнениях первых двух типов.
Например.
10. Найдите , если .
На данном уроке будут рассмотрены основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также примеры преобразования рациональных выражений. Данная тема как бы обобщает изученные нами до этого темы. Преобразования рациональных выражений подразумевают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, разложение на множители и т. п. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберём примеры на их преобразование.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях
Определение
Рациональное выражение - это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операции возведения в степень.
Рассмотрим пример рационального выражения:
Частные случаи рациональных выражений:
1. степень: 
;
2. одночлен: ;
3. дробь: .
Преобразование рационального выражения - это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).
Рассмотрим несколько примеров на преобразование рациональных выражений.
Пример 1
Решение:
Решим данный пример по действиям. Первым выполняется действие в скобках.
Ответ:
Пример 2
Решение:
Ответ:
Пример 3
Решение:
Ответ: .
Примечание: возможно, у вас при виде данного примера возникла идея: сократить дробь перед тем, как приводить к общему знаменателю. Действительно, она является абсолютно правильной: сначала желательно максимально упростить выражение, а затем уже его преобразовывать. Попробуем решить этот же пример вторым способом.
Как видим, ответ получился абсолютно аналогичным, а вот решение оказалось несколько более простым.
На данном уроке мы рассмотрели рациональные выражения и их преобразования , а также несколько конкретных примеров данных преобразований.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
Эта статья посвящена преобразованию рациональных выражений , преимущественно дробно рациональных, – одному из ключевых вопросов курса алгебры для 8 классов. Сначала мы напомним, выражения какого вида называют рациональными. Дальше остановимся на проведении стандартных преобразований с рациональными выражениями, таких как группировка слагаемых, вынесение за скобки общих множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Наконец, научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Навигация по странице.
Определение и примеры рациональных выражений
Рациональные выражения являются одним из видов выражений , изучаемых на уроках алгебры в школе. Дадим определение.
Определение.
Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и:, где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными выражениями .
Приведем несколько примеров рациональных выражений: .
Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями , то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены , а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений .
В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями . При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями ), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей .
Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем.
Основные виды преобразований рациональных выражений
С рациональными выражениями можно проводить любые из основных тождественных преобразований , будь то группировка слагаемых или множителей, приведение подобных слагаемых, выполнение действий с числами и т.п. Обычно целью выполнения этих преобразований является упрощение рационального выражения .
Пример.
.
Решение.
Понятно, что данное рациональное выражение представляет собой разность двух выражений и , причем данные выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть. Таким образом, мы можем выполнить приведение подобных слагаемых :
Ответ:
.
Понятно, что при проведении преобразований с рациональными выражениями, как, впрочем, и с любыми другими выражениями, нужно оставаться в рамках принятого порядка выполнения действий .
Пример.
Выполните преобразование рационального выражения .
Решение.
Мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках. Поэтому в первую очередь преобразуем выражение в скобках: 3·x−x=2·x .
Теперь можно подставить полученный результат в исходное рациональное выражение: . Так мы пришли к выражению, содержащему действия одной ступени – сложение и умножение.
Избавимся от скобок в конце выражения, применив свойство деления на произведение: .
Наконец, мы можем сгруппировать числовые множители и множители с переменной x, после чего выполнить соответствующие действия с числами и применить : .
На этом преобразование рационального выражения завершено, и в результате мы получили одночлен.
Ответ:
Пример.
Преобразуйте рациональное выражение 
.
Решение.
Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Такой порядок преобразования дробей объясняется тем, что черта дроби по своей сути есть другое обозначение деления, и исходное рациональное выражение по сути есть частное вида 
, а действия в скобках выполняются в первую очередь.
Итак, в числителе выполняем действия с многочленами, сначала умножение, затем – вычитание, а в знаменателе сгруппируем числовые множители, и вычислим их произведение: 
.
Еще представим числитель и знаменатель полученной дроби в виде произведения: вдруг возможно сокращение алгебраической дроби . Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов
, а в знаменателе вынесем двойку за скобки, имеем 
.
Ответ:
.
Итак, начальное знакомство с преобразованием рациональных выражений можно считать состоявшимся. Переходим, так сказать, к самому сладкому.
Представление в виде рациональной дроби
Наиболее часто конечной целью преобразования выражений является упрощение их вида. В этом свете самым простым видом, к которому можно преобразовать дробно рациональное выражение, является рациональная (алгебраическая) дробь, и в частном случае многочлен, одночлен или число.
А любое ли рациональное выражение возможно представить в виде рациональной дроби? Ответ утвердительный. Поясним, почему это так.
Как мы уже сказали, всякое рациональное выражение можно рассматривать как многочлены и рациональные дроби, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Все соответствующие действия с многочленами дают многочлен или рациональную дробь. В свою очередь любой многочлен можно преобразовать в алгебраическую дробь, записав его со знаменателем 1 . А сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей в результате дают новую рациональную дробь. Следовательно, выполнив все действия с многочленами и рациональными дробями в рациональном выражении, мы получим рациональную дробь.
Пример.
Представьте в виде рациональной дроби выражение 
.
Решение.
Исходное рациональное выражение представляет собой разность дроби и произведения дробей вида 
. Согласно порядку выполнения действий мы сначала должны выполнить умножение, а уже потом – сложение.
Начинаем с умножения алгебраических дробей :
Подставляем полученный результат в исходное рациональное выражение: .
Мы пришли к вычитанию алгебраических дробей с разными знаменателями:
Итак, выполнив действия с рациональными дробями, составляющими исходное рациональное выражение, мы его представили в виде рациональной дроби .
Ответ:
.
Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.
Пример.
Представьте рациональное выражение в виде рациональной дроби.
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение и примеры рациональных выражений
Определение 1Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями.Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Пример 1
Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Решение
Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y - 1 и 2 · x x · y - 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1
Ответ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Пример 2
Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .
Решение
Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .
Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4
Ответ: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .
Пример 3
Преобразовать выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Решение
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2
Ответ : x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Пример 4
Представить в виде рациональной дроби a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .
Решение
Данное выражение можно представить в виде a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 (a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Теперь выполняем вычитание:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 - 9 .
Ответ: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Пример 5
Представить x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x в виде рациональной дроби.
Решение
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x - 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1
Следует, что x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x
Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .
После деления придем к рациональной дроби вида
2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1
Можно решить это иначе.
Вместо деления на 2 · x - 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x - 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что
x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1
Ответ: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
