Cara mencari luas permukaan limas beraturan. Luas limas segi empat. Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Definisi piramida

Piramida adalah polihedron yang alasnya berupa poligon dan muka-mukanya berbentuk segitiga.

Kalkulator daring

Penting untuk memikirkan definisi beberapa komponen piramida.

Dia, seperti polihedra lainnya, memilikinya Tulang iga. Mereka berkumpul pada satu titik yang disebut atas piramida. Itu bisa didasarkan pada poligon sembarang. Tepian adalah bangun datar yang dibentuk oleh salah satu sisi alasnya dan dua sisi terdekatnya. Dalam kasus kami itu adalah segitiga. Tinggi piramida adalah jarak dari bidang tempat alasnya terletak ke puncak polihedron. Untuk piramida biasa juga ada konsepnya apotema- ini adalah garis tegak lurus yang diturunkan dari puncak piramida ke alasnya.

Jenis piramida

Ada 3 jenis piramida:

1. Persegi panjang- yang salah satu sisinya membentuk sudut siku-siku dengan alasnya.
2. Benar- alasnya adalah bangun geometri beraturan, dan titik sudut poligon itu sendiri merupakan proyeksi dari pusat alasnya.
3. Segi empat- piramida yang terdiri dari segitiga. Apalagi masing-masing bisa dijadikan dasar.

Rumus luas permukaan limas

Untuk mencari luas permukaan total limas, Anda perlu menjumlahkan luas permukaan lateral dan luas alasnya.

Kasus paling sederhana adalah kasus piramida biasa, jadi kita akan menanganinya. Mari kita hitung total luas permukaan piramida tersebut. Luas permukaan lateralnya adalah:

Sisi S = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\teks(sisi))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS samping​ = 2 1 ​ ⋅ aku ⋅P

II aku- apotema piramida;
hal P- keliling alas limas.

Total luas permukaan piramida:

S = S sisi + S utama S=S_(\teks(sisi))+S_(\teks(utama))S=S samping​ + S dasar​

Sisi S S_(\teks(sisi)) S samping​ - luas permukaan lateral piramida;
S utama S_(\teks(dasar)) S dasar​ - luas alas limas.

Contoh pemecahan suatu masalah.

Hitunglah luas total limas segitiga jika apotemanya 8 (cm), dan alasnya terdapat segitiga sama sisi dengan sisi 3 (cm)

Larutan

L = 8 aku=8 aku =8
a = 3 a=3 sebuah =3

Mari kita cari keliling alasnya. Karena alasnya adalah segitiga sama sisi dengan sisi-sisinya A A A, lalu kelilingnya hal P(jumlah seluruh sisinya):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9hal =sebuah+sebuah+sebuah =3 ⋅ sebuah =3 ⋅ 3 = 9

Maka luas sisi limas tersebut adalah:

Sisi S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\teks(sisi))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S samping​ = 2 1 ​ ⋅ aku ⋅hal =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (lihat persegi)

Sekarang mari kita cari luas alas limas, yaitu luas segitiga. Dalam kasus kita, segitiga tersebut sama sisi dan luasnya dapat dihitung menggunakan rumus:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\teks(dasar))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S dasar​ = 4 3 ​ ⋅ A 2 ​

A A A- sisi segitiga.

Kita mendapatkan:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\kira-kira3.9S dasar​ = 4 3 ​ ⋅ A 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (lihat persegi)

Luas keseluruhan:

S = S sisi + S utama ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\teks(sisi))+S_(\teks(utama))\kira-kira36+3,9=39,9S=S samping​ + S dasar​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (lihat persegi)

Menjawab: 39,9 cm persegi.

Contoh lain, sedikit lebih rumit.

Alas piramida berbentuk persegi dengan luas 36 (cm2). Apotema suatu polihedron adalah 3 kali sisi alasnya A A A. Temukan total luas permukaan gambar ini.

Larutan

S segi empat = 36 S_(\teks(kuad))=36S segi empat​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a aku =3 ⋅ A

Mari kita cari sisi alasnya, yaitu sisi persegi. Luas dan panjang sisinya berhubungan:

S segi empat = a 2 S_(\teks(kuad))=a^2S segi empat​ = A 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = A 2
a = 6 a=6 sebuah =6

Mari kita cari keliling alas limas (yaitu keliling persegi):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24hal =sebuah+sebuah+sebuah+sebuah =4 ⋅ sebuah =4 ⋅ 6 = 2 4

Mari kita cari panjang apotemanya:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18aku =3 ⋅ sebuah =3 ⋅ 6 = 1 8

Dalam kasus kami:

S quad = S utama S_(\text(quad))=S_(\text(dasar))S segi empat​ = S dasar​

Yang tersisa hanyalah mencari luas permukaan lateral. Menurut rumus:

Sisi S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\teks(sisi))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S samping​ = 2 1 ​ ⋅ aku ⋅hal =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (lihat persegi)

Luas keseluruhan:

$S=S^{\text{samping + Sdasar = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (lihat persegi)}}$

Menjawab: 252 cm persegi.

Piramida adalah bangun datar yang mempunyai banyak segi, yang alasnya adalah poligon, dan muka-muka lainnya diwakili oleh segitiga dengan titik sudut yang sama.

Jika alasnya berbentuk persegi maka disebut limas berbentuk segi empat, jika segitiga – maka segitiga. Ketinggian limas ditarik dari puncaknya yang tegak lurus dengan alasnya. Juga digunakan untuk menghitung luas apotema– tinggi sisi muka, diturunkan dari atasnya.
Rumus luas permukaan lateral limas adalah jumlah luas sisi-sisinya yang sama besar. Namun metode perhitungan ini sangat jarang digunakan. Pada dasarnya, luas limas dihitung melalui keliling alas dan apotema:

Mari kita perhatikan contoh penghitungan luas permukaan lateral limas.

Misalkan sebuah piramida mempunyai alas ABCDE dan puncak F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm Apotema a = 5 cm Tentukan luas permukaan lateral limas tersebut.
Mari kita cari kelilingnya. Karena semua rusuk alasnya sama, keliling segi lima akan sama dengan:
Sekarang Anda dapat mencari luas lateral limas:

Luas limas segitiga beraturan

Piramida segitiga beraturan terdiri dari alas yang di dalamnya terdapat segitiga beraturan dan tiga sisi sisinya yang luasnya sama.
Rumus luas permukaan lateral limas segitiga beraturan dapat dihitung dengan berbagai cara. Anda dapat menerapkan rumus perhitungan biasa menggunakan keliling dan apotema, atau Anda dapat mencari luas salah satu sisi dan mengalikannya dengan tiga. Karena muka limas berbentuk segitiga, maka kita terapkan rumus luas segitiga. Ini akan membutuhkan apotema dan panjang alasnya. Mari kita perhatikan contoh penghitungan luas permukaan lateral limas segitiga beraturan.

Diberikan sebuah piramida dengan apotema a = 4 cm dan sisi alas b = 2 cm, tentukan luas permukaan lateral piramida tersebut.
Pertama, cari luas salah satu sisi sisinya. Dalam hal ini akan menjadi:
Gantikan nilainya ke dalam rumus:
Karena semua sisi pada limas beraturan sama, maka luas permukaan sisi limas sama dengan jumlah luas ketiga sisinya. Masing-masing:

Luas piramida terpotong

terpotong Piramida adalah polihedron yang dibentuk oleh limas dan penampangnya sejajar dengan alasnya.
Rumus luas permukaan lateral limas terpotong sangat sederhana. Luasnya sama dengan hasil kali setengah jumlah keliling alas dan apotema:

Mari kita perhatikan contoh penghitungan luas permukaan lateral limas terpotong.

Diberikan piramida segi empat beraturan. Panjang alasnya adalah b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm Tentukan luas permukaan lateral gambar tersebut.
Pertama, kita cari keliling alasnya. Dalam skala yang lebih besar, itu akan sama dengan:
Dalam basis yang lebih kecil:
Mari kita hitung luasnya:

adalah bangun datar yang alasnya berupa poligon sembarang, dan sisi-sisinya diwakili oleh segitiga. Simpulnya terletak pada titik yang sama dan berhubungan dengan puncak piramida.

Piramida bisa bermacam-macam - segitiga, segi empat, heksagonal, dll. Namanya dapat ditentukan tergantung pada jumlah sudut yang berdekatan dengan alasnya.
Piramida kanan disebut limas yang sisi alas, sudut, dan rusuknya sama besar. Juga dalam piramida seperti itu, luas sisi-sisinya akan sama.
Rumus luas permukaan lateral limas adalah jumlah luas seluruh permukaannya:
Artinya, untuk menghitung luas permukaan lateral piramida sembarang, Anda perlu mencari luas masing-masing segitiga dan menjumlahkannya. Jika piramida terpotong, maka mukanya diwakili oleh trapesium. Ada rumus lain untuk piramida biasa. Di dalamnya, luas permukaan lateral dihitung melalui setengah keliling alas dan panjang apotema:

Mari kita perhatikan contoh penghitungan luas permukaan lateral limas.
Misalkan diberikan piramida segi empat beraturan. Sisi dasar B= 6 cm, apotema A= 8 cm Tentukan luas permukaan lateralnya.

Di dasar piramida segi empat beraturan terdapat sebuah persegi. Pertama, mari kita cari kelilingnya:

Sekarang kita dapat menghitung luas permukaan lateral piramida kita:

Untuk mencari luas total polihedron, Anda perlu mencari luas alasnya. Rumus luas alas limas mungkin berbeda tergantung poligon mana yang terletak di alasnya. Untuk melakukannya, gunakan rumus luas segitiga, luas jajar genjang dll.

Perhatikan contoh penghitungan luas alas limas yang diberikan oleh kondisi kita. Karena piramida itu beraturan, maka alasnya berbentuk persegi.
Daerah persegi dihitung dengan rumus: ,
dimana a adalah sisi persegi. Bagi kita 6 cm, artinya luas alas limas adalah:

Sekarang yang tersisa hanyalah mencari luas total polihedron. Rumus luas limas terdiri dari jumlah luas alas dan permukaan lateralnya.

Luas permukaan piramida. Pada artikel ini kita akan melihat masalah dengan piramida biasa. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa piramida beraturan adalah piramida yang alasnya adalah poligon beraturan, bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah poligon tersebut.

Sisi sisi piramida tersebut adalah segitiga sama kaki.Ketinggian segitiga yang ditarik dari titik puncak limas beraturan disebut apotema, SF - apotema:

Dalam jenis soal yang disajikan di bawah ini, Anda perlu mencari luas permukaan seluruh piramida atau luas permukaan lateralnya. Blog tersebut telah membahas beberapa masalah dengan piramida biasa, dimana pertanyaannya adalah tentang mencari elemen (tinggi, tepi alas, tepi samping).

Tugas Unified State Examination biasanya memeriksa piramida segitiga beraturan, segi empat, dan heksagonal. Saya belum melihat adanya masalah dengan piramida pentagonal dan heptagonal biasa.

Rumus luas seluruh permukaannya sederhana - Anda perlu mencari jumlah luas alas limas dan luas permukaan lateralnya:

Mari kita pertimbangkan tugasnya:

Sisi alas limas segi empat beraturan adalah 72, sisi-sisinya 164. Hitunglah luas permukaan limas tersebut.

Luas permukaan limas sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan alasnya:

*Permukaan lateral terdiri dari empat segitiga yang luasnya sama. Alas piramida berbentuk persegi.

Kita dapat menghitung luas sisi limas dengan menggunakan:

Jadi, luas permukaan limas adalah:

Jawaban: 28224

Sisi-sisi alas limas beraturan sama dengan 22, sisi-sisinya sama dengan 61. Tentukan luas permukaan lateral limas tersebut.

Alas limas segi enam beraturan adalah segi enam beraturan.

Luas permukaan lateral limas ini terdiri dari enam luas segitiga sama kaki dengan sisi 61,61 dan 22:

Mari kita cari luas segitiga menggunakan rumus Heron:

Jadi, luas permukaan lateralnya adalah:

Jawaban: 3240

*Pada soal di atas, luas sisi sisi dapat dicari dengan menggunakan rumus segitiga lain, namun untuk itu Anda perlu menghitung apotemanya.

27155. Hitunglah luas permukaan limas segi empat beraturan yang sisi alasnya 6 dan tingginya 4.

Untuk mencari luas permukaan limas, kita perlu mengetahui luas alas dan luas permukaan lateral:

Luas alasnya adalah 36 karena berbentuk persegi dengan sisi 6.

Permukaan lateralnya terdiri dari empat muka yang berbentuk segitiga sama kaki. Untuk mencari luas segitiga seperti itu, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya (apotema):

*Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali alas dan tinggi yang ditarik alas tersebut.

Basisnya diketahui, sama dengan enam. Mari kita cari tingginya. Pertimbangkan segitiga siku-siku (disorot dengan warna kuning):

Satu kaki sama dengan 4, karena ini adalah tinggi limas, yang lain sama dengan 3, karena sama dengan setengah tepi alasnya. Kita dapat mencari sisi miring menggunakan teorema Pythagoras:

Artinya luas permukaan lateral limas adalah:

Jadi, luas permukaan seluruh piramida adalah:

Jawaban: 96

27069. Sisi alas limas segi empat beraturan sama dengan 10, sisi-sisinya sama dengan 13. Tentukan luas permukaan limas tersebut.

27070. Sisi-sisi alas limas beraturan sama dengan 10, sisi-sisinya sama dengan 13. Tentukan luas permukaan lateral limas tersebut.

Ada juga rumus luas permukaan lateral limas beraturan. Pada piramida beraturan, alasnya merupakan proyeksi ortogonal dari permukaan lateral, oleh karena itu:

P- keliling dasar, aku- apotema piramida

*Rumus ini berdasarkan rumus luas segitiga.

Jika Anda ingin mempelajari lebih lanjut bagaimana rumus-rumus ini diturunkan, jangan sampai ketinggalan, ikuti publikasi artikelnya.Itu saja. Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.