Часто для непрерывных дробей применяется более компактное обозначение x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … .

Числа x 1 y 1 = x 1 y 1 , x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , … называются подходящими дробями данной непрерывной дроби. Если последовательность подходящих дробей неограниченно приближается к некоторому числу, то говорят, что бесконечная непрерывная дробь сходится к этому числу. Точнее, неограниченное приближение числовой последовательности a 1 a 2 … к числу a означает, что, какое бы маленькое положительное число ε мы бы ни взяли, все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, будут находиться от числа a на расстоянии меньшем, чем ε . Сходимость последовательности к числу принято обозначать так: lim s → ∞ a s = a .

Мы не станем углубляться в интереснейшую проблему исследования сходимости непрерывных дробей. Вместо этого поставим перед собой задачу алгоритмического вычисления последовательности подходящих дробей для данной непрерывной дроби. Глядя на эту последовательность, вычисленную на компьютере, можно строить гипотезы о сходимости непрерывной дроби.

Можно представлять себе подходящую дробь как функцию, определённую на пространстве последовательностей числовых пар: f ⁡ x 1 y 1 x 2 y 2 … x n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … + x n y n . Было бы неплохо, чтобы эта функция оказалась индуктивной или нашлось бы её индуктивное расширение.

Другой пример: 1 1 + 1 1 + 1 1 + … Предположив, что эта дробь сходится к числу a , найдём это число. Для этого заметим, что a = 1 1 + a (проверьте!). У этого уравнения два решения, из которых годится положительное a = 5 − 1 2 . Между прочим, a = 1 φ = φ − 1 = 0,61803398874989… , где φ - число Фидия из главы 9. «Числа Фибоначчи » . Сама же непрерывная дробь имеет самое прямое отношение к числам Фибоначчи: они уютно расположились в числителях и знаменателях подходящих дробей 1 , 1 2 , 2 3 , 3 5 , 5 8 , 8 13 , … .

Следует заметить, что способ рассуждений, при помощи которого найдено правильное значение непрерывной дроби, содержит существенный изъян. Рассуждая точно так же, мы уже нашли в разделе «Способы приближённого вычисления числа π » «значение» бесконечной суммы 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − … = 1 2 . Странно, что сумма целых чисел оказалась дробным числом. Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем − 1 ведёт к тому же результату: S = 1 1 − − 1 = 1 2 . Впрочем, не будем забывать, что формула суммы бесконечной геометрической прогрессии применяется лишь при знаменателях, строго меньших единицы по модулю.

Укажем и ещё более странный результат, опять подтверждаемый, если можно так выразиться, формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = 1 + 2 ⁢ 1 + 2 + 4 + 8 + … = 1 + 2 ⁢ S , откуда S = − 1 , то есть сумма положительных слагаемых оказалась отрицательной! Всё дело в том, что поиск суммы производился в предположении о её существовании. Для полноты картины следовало бы рассмотреть и другой случай, когда сумма не существует, но тогда мы не получим никакого результата.

Весьма важное в математике число, e = 2,718281828459045… , имеет много названий: основание натуральных логарифмов , число Непера , число Эйлера . Невозможно перечислить ситуации, где в математике возникает это число, которое, к тому же, служит вечным напоминанием о дне рождения Л. Н. Толстого . Обычно e определяют при помощи второго замечательного предела

Как и число π , число Непера имеет несколько красивых представлений через непрерывные дроби: e − 2 = 1 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 1 + … = 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + … = 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + …

Читателям, заинтересовавшимся непрерывными дробями, мы рекомендуем брошюру .

План:

Введение

• 1 Разложение в цепную дробь
• 2 Подходящие дроби
• 3 Приближение вещественных чисел рациональными
  • 3.1 Примеры
• 4 Свойства и примеры
• 5 Приложения цепных дробей
  • 5.1 Теория календаря
  • 5.2 Решение сравнений первой степени
  • 5.3 Другие приложения
    • 5.3.1 Свойства золотого сечения
• 6 Историческая справка
• 7 Мотивация
Примечания

Введение

Цепная дробь (или непрерывная дробь ) - это математическое выражение вида

где a 0 есть целое число и все остальные a n натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

1. Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью , где

где обозначает целую часть числа x .

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого x n для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью .

Для иррационального x все величины x n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью .

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

2. Подходящие дроби

n -ой подходящей дробью для цепной дроби , называется конечная цепная дробь , значение которой равно некоторому рациональному числу . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x .

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Таким образом, величины p n и q n представляются значениями континуант:

Последовательности и являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

которое можно переписать в виде

Откуда следует, что

3. Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует:

3.1. Примеры

• Разложим число π =3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

4. Свойства и примеры

• Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

• Теорема Лагранжа : Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

для числа

• У числа пи простой закономерности не видно:

• Теорема Гаусса - Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
• Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа x в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие n , то говорят, что число x относится к классу F (n ). Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса F (4) и в виде произведения двух чисел из класса F (4). В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса F (3) и в виде суммы 4 чисел из класса F (2). Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено - для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.

5. Приложения цепных дробей

5.1. Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском - за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

5.2. Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: , где известны, причём можно считать, что a взаимно просто с m . Надо найти x .

Разложим в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь . Подставим в формулу (1):

Отсюда вытекает:

Вывод: класс вычетов является решением исходного сравнения.

5.3. Другие приложения

5.3.1. Свойства золотого сечения

Интересный результат, которые следует из того факта, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел больше чем 1, состоит в том, что φ является одним из самых "трудных" действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Одна теорема (Теорема Гурвица) утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m /n при помощи

Тогда когда практически все действительные числа k имеют в конечно счёте бесконечно много приближений m /n , которые находятся на значительно меньшем расстояние от k , чем этот предел, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, и т.д.) последовательно "касаются границы", удерживая расстояние на почти точно расстоянии от φ, тем самым никогда не создавая приближения столь же внушительные как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано что любое действительное число формы (a + b φ)/(c + d φ) – где a , b , c иd являются целыми числами, такими как ad − bc = ±1 – имеют такое же свойство как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

6. Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение - это 12-я подходящая дробь для или от 4-й подходящей дроби для .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь» . Эквивалентный термин «цепная дробь » появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

7. Мотивация

Непрерывные дроби являются самыми "математически естественными" представлениями вещественных чисел.

Большинство людей знакомы с десятичным представлением вещественных чисел, которое может быть определено как

где a 0 может быть любым целым числом, а последующие a i являются одним из элементом {0,1,2,…,9}. В этом представление, число π, к примеру, может быть представлено как последовательность целых чисел .

Это десятичное представление имеет несколько проблем. Одна из них, многие рациональные числа не имеет конечного представления в этой системе. Например, число 1/3 представимо бесконечной последовательностью (0,3,3,3,3,…). Другая проблема заключается в том, что константа 10 является по сути произвольным выбором, который оказывает предпочтение числам, которые как-либо относятся к целому числу 10. Например, 137/1600 имеет конечное десятичное представление, тогда как 1/3 не имеет, не потому, что 137/1600 проще чем 1/3, а всего лишь потому, что 1600 делит степень 10 (10 6 = 1600 × 625). Запись как цепная дробь является представлением вещественных чисел, которая не имеет этих проблем.

Давайте рассмотрим как мы можем описать число, такое как 415/93, которое примерно равняется 4,4624. Это примерно 4.Вообще-то это чуть больше чем 4, около 4 + 1/2. Но 2 в знаменателе не совсем точно; там должно быть число чуть больше чем 2, примерно 2 + 1/6. Таким образом, 415/93 примерно равняется 4 + 1/(2 + 1/6). Но 6 в знаменателе не верно; настоящее значение чуть больше 6, 6+1/7. Таким образом, 415/93 является 4+1/(2+1/(6+1/7). Это точное значение.

Опуская некоторые обязательные части в выражении 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)) мы получим краткую нотацию . (Заметьте, что общепринято заменять только первую запятую точкой с запятой).

Представление как непрерывная дробь вещественного числа может быть определена таким образом. Она имеет несколько желательных свойств:

• Представление как непрерывная дробь конечно тогда и только тогда когда число является рациональным.

• Каждое рациональное число имеет по-существу единственное представление как непрерывная дробь. Каждое рациональное число можно представить в точности двумя способами, т.к. [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n ] = [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n − 1, 1]. Математики предпочитают иметь взаимно-однозначное соответствие между рациональными числами и цепными дробями; первая, более короткая нотация выбрана в качество каноническое представления.

• Представление как непрерывная дробь иррационального числа единственно.

• Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число является квадратичной иррациональностью, т.е. имеет форму

для целых a , b , c , d ; где b и d не ноль и c >1 и c не является точным квадратом.

К примеру, периодическая непрерывная дробь является золотым сечением, а периодическая непрерывная дробь является квадратным корнем из 2.

• Раннее усечение представления числа x в виде цепной дроби приводит к рациональному приближению x, которая в определенном смысле является "наилучшим" рациональным приближением.

Последнее свойство чрезвычайно важно. У десятичного представления числа его нет. Усечение десятичного представления числа приводит к рациональному приближению числа, но обычно к не очень хорошему приближению. К примеру, усечение 1/7 = 0.142857… в разных местах приводит к приближениям таким как 142/1000, 14/100 и 1/10. Но очевидно лучшим рациональным приближением будет само число "1/7". Обрывая десятичное представление π мы получаем приближения такие как 31415/10000 и 314/100. Цепная дробь π начинается . Усекая это представление мы получаем отличные рациональные приближение 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменатели 314/100 и 333/106 почти одинаковые, но ошибка в приближении 314/100 в девятнадцать раз больше ошибки, чем в приближении 333/106. Как приближении π, более чем в сто раз точнее приближения 3,1416.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФБОУ СПО «ДИВНОГОРСКИЙ ЛЕСХОЗ – ТЕХНИКУМ»

КАБИНЕТ МАТЕМАТИКИ

ОТЧЁТ

ПО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ №

ПО ТЕМЕ «НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ»

Выполнил:

Студент 1 курса гр. 11Б-Л Кардапольцев А.О.

Проверил:

Преподаватель: Коновалова Е.Г.

Оценка:

Введение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Непрерывная дробь- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Разложение в цепную дробь - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Приближение вещественных чисел рациональными - - 6

Историческая справка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Заключение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Библиографический список - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Введение

Целью моей исследовательской работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Непрерывная дробь

Цепная дробь (или непрерывная дробь ) - это математическое выражение вида

где a 0 есть целое число и все остальные a n натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью где

где обозначает целую часть числа x .

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого x n для некоторого n . В этом случае x представляется конечной цепной дробью

Для иррационального x все величины x n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству:

Отсюда, в частности, следует:

1) подходящая дробь является наилучшим приближением

для x среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит q n ;

2) мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры

1) Разложим число π =3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Вторая дробь (22/7) - это известное Архимедово приближение. Четвёртая (355/113) была впервые получена в Древнем Китае.

2) В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для

Третья подходящая дробь: 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов .

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение:

Это 12-я подходящая дробь для

Или от 4-й подходящей дроби для.

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь» . Эквивалентный термин «цепная дробь » появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

Заключение

Данная исследовательская работа показывает значение цепных дробей в математике.

Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида

ax+by=c.

Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:

().

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Библиографический список:

http://ru.wikipedia.org

1. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, “Просвещение”, 84.
2. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, “Наука”, 72.
3. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 84.
4. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 93.

Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, “Просвещение”,

Описание работы

Целью моей исследовательской работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Непрерывная дробь- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Разложение в цепную дробь - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Приближение вещественных чисел рациональными - - 6

Историческая справка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Заключение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Библиографический список - - - - - - - - - - - - - - -

Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

Где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше). Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x. Поясним сказанное на примере. Предположим, что

Https:="">
">

• - отношение двух чисел, разделенных одно на другое, вида а/в; например, 3/4. В этом выражении а - числитель, а в - знаменатель. Если а и в - целые числа, то частное - простая дробь. Если а меньше в, то дробь правильная...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - практика выплат комиссионных зарегистрированным представителям после того, как они прекратили деятельность в качестве брокеров/дилеров или наследникам после смерти зарегистрированного представителя...

  Большой экономический словарь

• - Начисление процента, или дисконтирование, будущих поступлений на постоянном базисе. При годовой ставке 100 r, через N лет сумма займа вырастет в N раз по сравнению с первоначальной суммой...

  Экономический словарь

• - Рухин, 1961, - ритмы, не разделенные выдержанными перерывами в осадконакоплении и обязательно имеющие регрессивную часть...

  Геологическая энциклопедия

• - среды, в которых скорость распространения упругих волн непрерывно возрастает с глубиной. Изучение их в сейсморазведке играет большую роль...

  Геологическая энциклопедия

• - см. Дни последовательно-исчисляемые...

  Морской словарь

• - в теоретических финансовых расчетах - проценты, начисляемые за бесконечно малые промежутки времени.Синонимы: Непрерывное начислениеСм. также: Стоимость кредита  ...

  Финансовый словарь

• - см. Дробь...
• - см. Дробь...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - числа или функции, возникающие при обрыве непрерывной дроби...

  Большая Советская энциклопедия

• - 1. Арх., Орл., Сиб. Плясать, прерывисто пристукивая ногами о землю. СРНГ 8, 189; СОГ 1989, 75; ФСС,12. 2. Волг. Пристукивать ногами от холода. Глухов 1988, 3...
• - Сиб. То же, что бить дроби 1. ФСС, 53...

  Большой словарь русских поговорок

• - Заваливать/ завалить на дробях кого. Жарг. студ. Отвергать, отклонять кого-л. по несущественной причине. НРЛ-82; Мокиенко 2003, 26...

  Большой словарь русских поговорок

• - прил., кол-во синонимов: 1 целый...

  Словарь синонимов

"НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ" в книгах

Непрерывные выборы Путина

Непрерывные выборы Путина Для поддержания персональной популярности Путина в народе его команда немедленно реагирует на малейшее изменение обстановки. «Перманентные выборы» приобрели дополнительное значение в начале нулевых, когда череда «цветных революций» смела

Непрерывные и радикальные инновации

Непрерывные и радикальные инновации Сегодня всем уже известна теория кривой роста. Многие годы она была (и продолжает оставаться) одним из инструментов, позволяющих определить положение компании на любом этапе ее развития. У каждого товара и услуги собственный цикл

4. 5. Непрерывные потоки

4. 5. Непрерывные потоки При построении модели промышленно-сбытовой системы мы предполагаем, что ее основой - по крайней мере вначале - являются непрерывные потоки и взаимодействия переменных. Дискретность событий может быть учтена при анализе информационных систем с

Непрерывные инновации и устойчивый успех – вот приз победителю

Непрерывные инновации и устойчивый успех – вот приз победителю Теперь, когда вы получили представление о каждой из трех сторон треугольника успеха, я сложу их вместе. Если ваша цель состоит в том, чтобы создать компанию, способную постоянно придумывать и внедрять

Непрерывные угрозы

Непрерывные угрозы Всю ту ночь мы находились у русских на мушке. Они заперли нас, а потом подошли другие и ругались, что двери закрыты. Вокруг не прекращалось какое-то движение, все вещи перетряхивались и просматривались: сундуки, ящики, коробки. Их содержимое выкидывалось

Глава I. НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНФЛИКТЫ И НЕНАДЕЖНЫЕ ПЕРЕМИРИЯ

Глава I. НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНФЛИКТЫ И НЕНАДЕЖНЫЕ ПЕРЕМИРИЯ В 1559 г. удар копья Монтгомери, убивший короля Генриха II, «меняет лицо Франции». Сможет ли наследник трона Франциск II обуздать силы, готовые разбушеваться при малейшем ослаблении королевской власти? С одной стороны,

Подходящие дроби

3.2.1. Двоичные дроби

3.2.1. Двоичные дроби Для начала - немного математики. В школе мы проходим два вида дробей простые и десятичные. Десятичные дроби, по сути дела, представляют собой разложение числа по степеням десяти. Так, запись 13,6704 означает число, равное 1?101 + 3?100 + 6?10-1 + 7?10-2 + 0?10-3 + 4?10-4. Но

3.2.5. Бесконечные дроби

3.2.5. Бесконечные дроби Из школы мы все помним, что не каждое число может быть записано конечной десятичной дробью. Бесконечные дроби бывают двух видов: периодичные и непериодичные. Примером непериодичной дроби является число?, периодичной - число? или любая другая

Что могут дать продолжительные, непрерывные усилия

Что могут дать продолжительные, непрерывные усилия Стоила ли овчинка выделки? О да! Книга в конечном счете разошлась в 8 миллионах экземпляров на 39 языках.Произошло ли это в мгновение ока? О нет! В список бестселлеров мы попали через год после выхода книги в свет – через

Дроби

Дроби «Дроби» – это новое агентство, предлагающее уроки математики. Дизайнер Фредди Матисс представил варианты логотипа для агентства в виде загадки: A превращается в Б с помощью простого преобразования; если вы выполните такое же преобразование для пятиугольника

Шестая особенность: движения связанные и непрерывные с образованием единой ци

Шестая особенность: движения связанные и непрерывные с образованием единой ци В трактатах о гимнастиках приведены следующие требования.1) Движения туда и обратно должны иметь излом и смену. Наступление и отступление должны иметь переворот.2) Подобрав, тут же отпускают,

Непрерывные инновации

Непрерывные инновации Рынки и технологии постоянно меняются и когда-то успешные товары выходят из употребления. Позиции даже самых сильных компаний весьма уязвимы из-за технологических и рыночных изменений. Поэтому для удержания рыночного лидерства компаниям

Непрерывные инновации: обратная связь

Непрерывные инновации: обратная связь Опыт Intel показывает, что постоянные инновации не только сдерживают конкурентов, но и генерируют прибыль для новых инноваций. Рынок микропроцессоров значительно динамичнее рынка бритвенных систем. Рисунок 7–3 иллюстрирует тенденции

1.4. Дискретные и непрерывные системы