Презентация на тему как начертить параболу. Презентация к проекту "Парабола. Родственники параболы ближние и дальние". Родственники параболы

«Показательная и логарифмическая функции» - Процессы, которые подчиняются законам выравнивания. Логарифмическая спираль. Применения показательной функции. Схематические графики функции у = logax. Дробные показатели степени. Ножи в механизме. Свойства функции у = logax. Свойства функции у = logax при a > 1. Спирали. Логарифмическая функция, ее свойства и график.

««Степенные функции» 11 класс» - Степенная функция. Функция у=х-2. Гипербола. Функция у = х2n-1. Кубическая функция. У = х. Функция у=х-3. Функция у=х0. Степенные функции с натуральным показателем. Функция у=х4. Графиком является парабола. Функция у = х2n.

«Обратная функция» - Обратная функция к v(t). Задача. у = f (x), x - ! Обратная. Построить функцию, обратную к данной. Найти значение х при заданном значении у. Поменяем местами х и у: у = g(x). Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x). Обратимая функция. Пусть у = f(x) – обратимая функция. Найти значение у при заданном значении х.

«Урок Линейная функция» - 20 минут. Длина растущих волос. Сон ребенка. Плата за стационарный телефон. Плата за такси. Когда графики линейных функций параллельны или пересекаются? Домашнее задание. Шкалирование. Как построить график линейной функции? Где 265 – базовая единица + 3 рубля за минуту. G – возраст ребенка. Обсуждаемые вопросы.

«Взаимно обратные функции» - Свойства взаимно обратных функций. Графики взаимно обратных функций. Всегда ли определена обратная функция. Обратная функция не всегда определена. Признак обратимости функции. Поведение взаимно обратных функций. Связь графиков прямой и обратной функции. Информационные ресурсы. Определение взаимно обратных функций.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: воспроизведение и коррекция необходимых знаний и умений по данной теме;

анализ заданий и способов их выполнения;

развивать логическое мышление;

закрепить умение строить и “читать” графики;

прививать интерес к истории математики.

Тип урока: урок закрепления и проверки знаний, умений, навыков учащихся.

Оборудование:

презентация PowerPoint;
чертежные инструменты.

I . Историческая справка. (Слайд 2)

Аполлоний Пергский ( Перге, 262 до н.э. - 190 до н.э.) - древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э.

Аполлоний прославился в первую очередь монографией “Конические сечения” (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто “сечениями конуса”. Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

“Парабола” означает приложение или притча. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

Применение свойств параболы в жизни.

Оказывается, что парабола график квадратичной функции - обладает вот каким интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую - ее директрисой). Это свойство параболы было известно уже математикам античной Греции.

Камень, брошенный под углом к горизонту, или снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы.

Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии, то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения. Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

А вот еще одно любопытное свойство: если параболоид вращения поворачивать вокруг его оси с подходящей скоростью, то равнодействующая центробежной силы и силы тяжести в каждой точке параболоида будет направлена перпендикулярно его поверхности.

На этом свойстве основан забавный аттракцион: если вращать большой параболоид, то каждому из людей, разместившихся внутри него, кажется, что он сам твердо стоит на полу, а все остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

II. Обобщение знаний о расположении графика параболы. (Слайд 3-5)

Рассматривая параболу …

В этом разделе мы покажем, как можно получить массу информации о коэффициентах квадратного трехчлена у =ах 2 + bх + с, рассматривая его график - параболу.

Сначала напомним хорошо известные факты.

1) Знак коэффициента а (при х 2) показывает направление ветвей параболы:

а > О - ветви вверх;

а < 0 - ветви вниз.

Модуль коэффициента, а отвечает за “крутизну”

параболы: чем больше тем “круче” парабола.

Решить упражнение 1 . (Слайд 6, 7)

Для каждого из квадратных трехчленов:

2) Коэффициент b (вместе с а) определяет абсциссу вершины параболы:

В частности, при а = 1 абсцисса вершины квадратного трехчлена у =х 2 + bх +с равнa .

При b > 0 вершина расположена левее оси Оу, при b < 0 - правее, при b = 0 - на оси Оу .

Решить упражнение 2 . (Слайд 8, 9)

Для каждого их квадратных трехчленов:

найдите на чертеже его график.

3) Сохраняя коэффициенты а и b и изменяя с , мы будем “поднимать” и “опускать” параболу. Как “прочитать” на чертеже значение с ?

Ясно, что с = y (0) -ордината точки пересечения параболы с осью Оу.

Решить упражнение 3 . (Слайд 11, 12)

а) Где какой график?

б) Что больше: с или 1 ?

в) Определите знак b .

Решить упражнение 4 . (Слайд 13, 14)

На чертеже изображены графики функций:

причем ось Оу , идущая, как всегда, “снизу вверх” перпендикулярно оси Ох , стерта.

а) Какая функция имеет график 1, а какая - 2?

б) Определите знаки c и d.

в) Определите знак b.

Решить упражнение 5 . (Слайд 15, 16)

На чертеже изображены графики функций:

у = х 2 + 4х + с,

у = х 2 + bx + d и у = х 2 + 1,

причем ось Ох , идущая, как всегда, “слева направо” перпендикулярно оси Оу , стерта.

а) Какая функция имеет график 1, какая - 2, а какая - 3?

б) Определите знак Ь .

в) Что больше: с или d ?

г) Определите знаки с и d .

Решить упражнение 6 . (Слайд 17–19)

На чертеже изображены графики функций:

у = ах 2 + х + с,

у = –х 2 + bх + 2

причем оси Оу и Ох, расположенные стандартным образом (параллельно краям листа, Ох - горизонтально “слева направо”, Оу - вертикально (“снизу вверх”), стерты.

а) Определите знак b .

б) Определите знак с.

в) Докажите, что:

решение упражнений основывается на тех фактах, которые мы знаем о коэффициентах квадратного трехчлена;
сойства параболы чрезвычайно богаты и разнообразны, используя их решите задачу.

Задача (слайд 20, 21).

Известно, что парабола, являющаяся графиком квадратного трехчлена у = ах 2 + 10х + с, не имеет точек в третьей четверти.

Какое из следующих утверждений может быть неверным?

(A) а>0

(B) Вершина параболы лежит во второй четверти.

(Е) 1ОО – 4 ас < 0.

Поскольку парабола не имеет точек в III четверти, то не может быть отрицательным. Итак, a > 0, следовательно, абсцисса вершины х 0 < 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, - это условие тоже обязательно выполняется. Условие с > 0,1 ни из чего не следует.

Действительно, оно может быть нарушено, например, для параболы у = х 2 + 10х + 0,01, удовлетворяющей условиям задачи.

Ответ: (D).

У этого термина существуют и другие значения. (Литература)

Парабола – “сравнение, сопоставление, подобие, приближение”.

Небольшой рассказ иносказательного характера, имеющий поучительный смысл и особую форму повествования, которое движется как бы по кривой (параболе): начатый с отвлечённых предметов, рассказ постепенно приближается к главной теме, а затем вновь возвращается.

ПАРАБОЛА.

РОДСТВЕННИКИ ПАРАБОЛЫ -

БЛИЖНИЕ И ДАЛЬНИЕ

Сильченко Ольга, Изотова Анна

ученицы 9 класса МБОУ Страшевичская СОШ

учитель: Самолысова Татьяна Васильевна

Цель проекта:

изучить одну из кривых второго порядка (параболу) и сферы её применения.

Задачи проекта:

1.Дать математическое определение параболы.

2. Изучить свойства параболы.

3. Выяснить, почему параболу называют коническим сечением.

4.Найти сведения о «родственниках» параболы

5. Выявить области применения параболы

Всем нам хорошо знаком квадратный трехчлен, про который казалось бы, мы все знаем: и как корни находить, и как график строить, и как неравенства квадратичные решать... Но это поспешное суждение - у нашего старого знакомого есть немало секретов и сюрпризов!

Пара́бола (греч. παραβολή - приложение) -кривая, точки которой одинаково удалены от некоторой точки, называемой фокусом, и от некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Парабола - это сечение конуса плоскостью, параллельной его образующей.

Еще один способ построения

Оказывается, что парабола – график квадратичной функции – обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую – директрисой). Это свойство параболы было известно еще математикам античной Греции. Для графика функции у = х 2 фокусом служит точка с координатами (0;0,25), а директрисой – прямая у = -0,25.

Попробуйте придумать, как можно строить параболу, используя это свойство.

Свойства параболы

1. Парабола - кривая второго порядка.

2. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.

3.Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

4. Для параболы фокус находится в точке (0; 0.25).

Для параболы фокус находится в точке (0; f).

5.Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Самые близкие родственники параболы – это окружность , гипербола и эллипс.

А роднит все эти кривые обыкновенный конус:

провести плоскость, которая параллельна оси конуса,

то линией пересечения окажется гипербола

если плоскость перпендикулярна оси, то пересечение – окружность ,

если плоскость расположить между последними двумя,

то в пересечении получится эллипс.

если плоскость параллельна образующей конуса, то в пересечении получится парабола ,

Поэтому все эти кривые вместе называют коническими сечениями.

Уже в 340 году до нашей эры греческий математик Менехм знал о таком свойстве этих кривых, а во втором веке до нашей эры Аполлоний из Перги написал подобный трактат «Конические сечения».

Циклоида.

Еще одна знаменитая родственница параболы - циклоида. Это траектория точки обода колеса, которое катится без скольжения по прямой. Такое название дал кривой Галилей. Если спускаться на санках с горки построенной в виде циклоиды, то время спуска не зависит от того, с какого места начали катиться санки. Но зато спуск с той же высоты по горке любой другой формы займет больше времени. Из-за этого свойства циклоиду еще называют «брахистохроной» (от греческих слов, означающих «кратчайший» и «время»).

Параболоид вращения.

Если вращать параболу вокруг ее оси вращения то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.

Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

Использование параболоидов в технике

Параболоид вращения фокусирует пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку.

Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку - фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника.

На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары.

Использование параболоидов в технике

Телескопы-рефлекторы

Прожектор

Автомобильные фары

Солнечная зажигалка

Оригинальный способ использования энергии Солнца. Солнечная зажигалка представляет собой параболическое зеркало из нержавеющей стали, почти такое же, как то, которое используется для зажигания Олимпийского огня в Афинах.

Параболическое зеркало дает возможность собрать всю энергию в одной фокусной точке и зажечь огонь. Температура в этой точке может достигать 537-ми градусов по Цельсию. Такое устройство будет незаменимо в походе и в других полевых условиях.

Параболы в физическом пространстве

Параболическая орбита и движение спутника по ней

Падение баскетбольного мяча

Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США.

Парабола в природе

Парабола. Её форма невероятна, как, впрочем, и высота. Некоторые люди

до сих пор не верят в существование этой странной скалы. Так и говорят:

“ Нет ни бога, ни Параболы. А то, что показывают – это фотошоп.”

Парабола в живой природе

Несомненно заблуждается тот, кто считает, что параболу можно встретить только на страницах учебника. Внимательно посмотрите на рисунки и найдите в них параболы.

Сами выполните несколько рисунков листьев, цветов,животных и найдите в них параболы.