Балка - это стержень или брус, работающий преимущественно на изгиб. Статически определимые балки разделяются на следующие типы (рис. 1.8):
простые балки - балки на двух опорах по концам;
консольные - балки на двух опорах со свешивающимися концами или консолями;
консоли - балки, защемлённые одним концом;
шарнирно-консольные балки, составленные из двух или нескольких последовательно расположенных балок, концы которых связаны между собой шарнирами.
Рис. 1.8. Различные типы балок: а – простая балка; б – консольная балка; в – консоль; г – шарнирно-консольная балка
Расстановка шарниров в многопролётной балке должна быть произведена так, чтобы она была статически определимой и геометрически неизменяемой:
в каждом пролёте должно быть размещено не более двух шарниров;
пролёты с двумя шарнирами должны быть размещены не менее чем через пролёт;
пролёты с одним шарниром могут следовать один за другим, если в системе есть одна неподвижная балка.
Консоль, простая балка и балка с консолями - это геометрически неизменяемые и статически определимые системы.
Длина консоли называется вылетом консоли, а длина простой балки – пролётом.
1.6. Порядок расчёта шарнирно-консольных балок
Подсчитывают степень свободы системы.
Проводят анализ геометрической неизменяемости системы. Изображают схему взаимодействия элементов шарнирно-консольной балки, то есть поэтажную схему, для чего мысленно разъединяют элементы балки, разделив их на основные или главные, которые могут самостоятельно воспринимать внешнюю нагрузку, и второстепенные или присоединённые, которые не могут работать самостоятельно, а должны опираться на основные балки в соответствии с рисунком 9.
Аналитический расчёт шарнирно-консольных балок начинают со второстепенной балки самого верхнего этажа. Построив для верхней балки эпюры изгибающихся моментов и поперечных сил, прикладывают реакцию опоры на нижележащую балку с обратным направлением и рассчитывают её. Последней рассчитывается опорная балка.
Признаки основной и второстепенной частей:
если разрушается основная часть, то разрушается вся система;
при разрушении второстепенной части, основная или главная остаётся без изменения.
Рис. 1.9. Поэтажные схемы шарнирно-консольных балок
Контрольные вопросы
Почему недопустимы системы, близкие к мгновенно изменяемым?
Для чего проводится кинематический анализ систем?
Как проверить статическую определимость и геометрическую неизменяемость многопролетной статически определимой балки?
2. Расчёт сооружений на подвижную нагрузку
При расчёте сооружения на подвижную нагрузку: движущийся поезд, автомобиль – пользуются линиями влияния (лв).
Линия влияния – это график, показывающий закон изменения того или иного усилия: реакции, момента, поперечной силы – в определённом или фиксированном сечении сооружения при перемещении по его длине груза F=1.
Ордината линии влияния показывает величину усилия, для которого построена ЛВ, когда груз F=1 стоит над этой ординатой на сооружении.
Ординаты линий влияния R и Q безразмерны, а линии влияния М выражаются в метрах.
Сравнение линий влияния и эпюр какого-либо усилия J приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Сравнение линии влияния и эпюр
Представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах - для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.
Ось х , относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I следует определять относительно оси z .
Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота.
В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:
θ х = - θ A + Мх/EI + Ax 2 /2EI - qx 3 /6ЕI
например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка осутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:
θ х = - θ A + Ax 2 /2EI = - Ql 2 /16EI + Qx 2 /4EI = Q(4x 2 - l 2)/16EI
Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:
f х = - θ A x + Мх 2 /2EI + Ax 3 /6EI - qx 4 /24ЕI
для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:
f х = - θ A x + Ax 3 /6EI = - Ql 2 x/16EI + Qx 3 /12EI = Qx(4x 2 - 3l 2)/48EI
На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2 < x < l) уравнение будет иметь вид:
f х = - θ A x + Ax 3 /6EI - Q(x - l/2) 3 /6EI
Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у .
Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.
1. БАЛКА НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ
2. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА
3. БАЛКА НА ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ С КОНСОЛЯМИ
Расчетные схемы для статически неопределимых балок .
Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких - приведены все формулы определения необходимых значений.
Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).
Оранжевые ячейки - максимальные значения.
Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).
Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.
Синие ячейки - ввод данных. (Белые ячейки - ввод координаты для определения промежуточного итога).
Зеленые ячейки - расчетные, промежуточный итог.
Оранжевые ячейки - максимальные значения.
Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.
Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке
Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках
Рис.3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис4. Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Рис5. Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента
Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах
Рис6. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке
Рис7. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках
Рис8. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис9. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Рис10.Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента
Расчет консольных балок
Рис11. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке
Рис12. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис13.
Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Рис14. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента
Расчет двухпролетных балок
Рис15. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке
Рис16. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис17. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Шарнирно-консольная статически определимая балка - это геометрически неизменяемая статически определимая система, составленная из простых и консольных балок , соединенных между собой шарнирами.
Преимущества: Изгибающие моменты в сечениях таких балок меньше , чем в сечениях простых балок, перекрывающих такой же пролет (вопросы экономичности при подборе сечения); изменение температуры не оказывает такого существенного напряжения, как в неразрезных балках.
Недостатки: Наличие шарниров усложняет изготовление и монтаж таких балок, а также обусловливает перелом упругой линии в местах установки шарниров (толчки, удары); обрушение шарнирной балки в каком — то пролете может вызвать разрушение всей конструкции в целом.
Расчет многопролетной статически определимой шарнирно- консольной балки начинается с проверки геометрической неизменяемости и статической определимости балки.
Далее составляют схему взаимодействия (этажную схему ). При составлении схемы взаимодействия различают три вида простых балок: подвесная, передаточная и основная . Подвесная балка не имеет своих опор и крепится к соседним балкам шарнирами . Передаточная балка имеет одну опору и крепится к соседней балке шарниром . Основная балка имеет две собственных опоры или одно жесткое защемление.
Чтобы составить этажную схему , шарниры заменяют шарнирными опорами. Таким образом, между шарнирами образуется самостоятельная статически определимая балка. При этом следует помнить, что балка (статически определимая) опирается на две шарнирные опоры.
В шарнирно-консольных балках чередование шарниров принимается не случайно . В балках 1-го типа (балки Гербера ) шарниры располагаются попарно через пролет . В таких балках сначала рассчитывают подвесные балки, затем — основные. Давление от подвесной балки передается на основную в виде опорной реакции, но имеет противоположное направление.
Балки Гербера
В балках 2-го типа (балки Дингера ) шарниры располагаются в каждом пролете по одному, кроме первого. В таких балках расчет начинается с крайней передаточной балки и заканчивается основной.
Балки Дингера
Давление от вышележащей балки передается на нижележащую в виде опорной реакции и имеет противоположное направление . Для каждой простой балки строят эпюры Q и М по правилам сопротивления материалов, после чего под расчетной схемой балки на одной оси располагают эпюры поперечных сил всех простых балок, на другой оси — эпюры изгибающих моментов и получают общие для всей балки эпюры Q и М.
Расчет подобных балок см. в рубрике «Расчет статически определимой многопролетной балки»
В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.
Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия ( F ix = 0) обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:
Условие F iy = 0 используется для проверки вычисленных значений опорных реакций.
Пример 5. Построить эпюры Q y и M x для балки с шарнирным опиранием (рис.8).
Порядок расчета.
1. Вычисляем реакции опор.
Проверка:
В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.
3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
Строим эпюру Q y .
4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
Рис. 8
Строим эпюру M x
Пример 6. Построить эпюры Q y и M x для балки на двух опорах с консолью (рис.9,а)
Порядок расчета.
1. Вычисляем опорные реакции.
Во втором уравнении равновесия (впрочем, как и в первом) момент от распределенной нагрузки q вычислен без разбиения ее на две части - слева и справа от опоры В, то есть определена равнодействующая нагрузки q – q 3, ее положение (в середине участка с распределенной нагрузкой), что позволяет определить плечо равнодействующей относительно опоры В и направление создаваемого ею момента. В то же время можно было в уравнении равновесия учитывать отдельно части нагрузки q , приложенные слева и справа от опоры В; при этом второе уравнение равновесия имеет вид:
Вычисленное из этого уравнения значение реакции R A , разумеется, совпадает с полученным ранее.
Проверка:
2. Намечаем характерные сечения.
3. Вычисляем поперечную силу и изгибающий момент в характерных сечениях.
Из рассмотрения левой отсеченной части:
Для сечений 5-7 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:
По вычисленным значениям строим эпюры Q y и M x (рис.9,б,в).
Рис.9
1.11. Правила контроля эпюр Q у И M x.
Дифференциальные зависимости между Q y определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Q y и M x .
1. Эпюра Q y является прямолинейной на всех участках; эпюра M x - криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.
2. Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Q y обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре M x обязателен скачок на величину момента.
3. Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Q y пересекает ось (Q y = 0), то эпюра M x в этом сечении имеет экстремум.
4. На участках с поперечной силой одного знака эпюра M x имеет одинаковую монотонность. Так, при Q y > 0 эпюра M x возрастает слева направо; при Q y < 0 - убывает.
Порядок линии на эпюре Q y всегда на единицу меньше, чем на эпюре M x . Например, если эпюра M x - квадратная парабола, то эпюра Q y на этом участке - наклонная прямая; если эпюра M x - наклонная прямая, то эпюра Q y на этом участке - прямая, параллельная оси; если M x = const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Q y = 0.
