Saat membedakan fungsi pangkat eksponensial atau ekspresi pecahan yang rumit, akan lebih mudah jika menggunakan turunan logaritma. Pada artikel ini kita akan melihat contoh penerapannya dengan solusi mendetail.
Pemaparan lebih lanjut mengasumsikan kemampuan menggunakan tabel turunan, aturan diferensiasi dan pengetahuan tentang rumus turunan fungsi kompleks.
Penurunan rumus turunan logaritma.
Pertama, kita ambil logaritma ke basis e, sederhanakan bentuk fungsinya menggunakan sifat-sifat logaritma, lalu cari turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit: 
Misalnya, cari turunan fungsi pangkat eksponensial x pangkat x.
Mengambil logaritma memberi. Menurut sifat-sifat logaritma. Membedakan kedua sisi persamaan menghasilkan hasil: 
Menjawab: 
.
Contoh yang sama dapat diselesaikan tanpa menggunakan turunan logaritma. Anda dapat melakukan beberapa transformasi dan beralih dari mendiferensiasikan fungsi pangkat eksponensial ke mencari turunan fungsi kompleks: 
Contoh.
Temukan turunan suatu fungsi 
.
Larutan.
Dalam contoh ini fungsinya 
adalah pecahan dan turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan diferensiasi. Namun karena ekspresi yang rumit, hal ini memerlukan banyak transformasi. Dalam kasus seperti itu, lebih masuk akal untuk menggunakan rumus turunan logaritma 
. Mengapa? Anda akan mengerti sekarang.
Ayo kita temukan dulu. Dalam transformasi kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma (logaritma suatu pecahan sama dengan selisih logaritma, dan logaritma suatu hasil kali sama dengan jumlah logaritma, dan derajat ekspresi di bawah tanda logaritma dapat berupa diambil sebagai koefisien di depan logaritma): 
Transformasi ini membawa kita pada ekspresi yang cukup sederhana, yang turunannya mudah ditemukan: 
Hasil yang diperoleh kita substitusikan ke dalam rumus turunan logaritma dan dapatkan jawabannya:
Untuk memantapkan materi, kami akan memberikan beberapa contoh lagi tanpa penjelasan detail.
Contoh.
Temukan turunan fungsi pangkat eksponensial 
Membiarkan
(1)
adalah fungsi terdiferensiasi dari variabel x. Pertama, kita akan mempertimbangkannya pada himpunan nilai x yang y bernilai positif: . Berikut ini kami akan menunjukkan bahwa semua hasil yang diperoleh juga berlaku untuk nilai negatif .
Dalam beberapa kasus, untuk mencari turunan dari fungsi (1), akan lebih mudah untuk melakukan pra-logaritma terlebih dahulu
,
lalu hitung turunannya. Kemudian, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks,
.
Dari sini
(2)
.
Turunan logaritma suatu fungsi disebut turunan logaritma:
.
Turunan logaritma dari fungsi y = f(x) adalah turunan dari logaritma natural dari fungsi ini: (dalam f(x))′.
Kasus nilai y negatif
Sekarang perhatikan kasus ketika suatu variabel dapat mengambil nilai positif dan negatif. Dalam hal ini, ambil logaritma modulus dan temukan turunannya:
.
Dari sini
(3)
.
Artinya, secara umum, Anda perlu mencari turunan logaritma modulus fungsi.
Membandingkan (2) dan (3) kita memiliki:
.
Artinya, hasil formal penghitungan turunan logaritma tidak bergantung pada apakah kita mengambil modulo atau tidak. Oleh karena itu, saat menghitung turunan logaritma, kita tidak perlu mengkhawatirkan tanda apa yang dimiliki fungsi tersebut.
Situasi ini dapat diperjelas dengan menggunakan bilangan kompleks. Misalkan, untuk beberapa nilai x, bernilai negatif: . Jika kita hanya mempertimbangkan bilangan real, maka fungsinya tidak terdefinisi. Namun, jika kita memasukkan bilangan kompleks ke dalam pertimbangan, kita mendapatkan yang berikut:
.
Artinya, fungsi dan berbeda dengan konstanta kompleks:
.
Karena turunan suatu konstanta adalah nol, maka
.
Properti turunan logaritma
Dari pertimbangan seperti itu maka berikut ini turunan logaritmik tidak akan berubah jika fungsi tersebut dikalikan dengan konstanta sembarang :
.
Memang menggunakan sifat-sifat logaritma, rumus jumlah turunan Dan turunan dari suatu konstanta, kita punya:
.
Penerapan turunan logaritma
Turunan logaritmik lebih mudah digunakan jika fungsi aslinya terdiri dari produk pangkat atau fungsi eksponensial. Dalam hal ini, operasi logaritma mengubah hasil kali fungsi menjadi jumlah fungsi tersebut. Ini menyederhanakan penghitungan turunannya.
Contoh 1
Temukan turunan dari fungsi tersebut:
.
Larutan
Mari kita logaritma fungsi aslinya:
.
Mari kita bedakan terhadap variabel x.
Dalam tabel turunan kita menemukan:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
;
;
;
;
(A1.1) .
Kalikan dengan:
.
Jadi, kami menemukan turunan logaritma:
.
Dari sini kita mencari turunan dari fungsi aslinya:
.
Catatan
Jika kita hanya ingin menggunakan bilangan real, maka kita harus mengambil logaritma modulus fungsi aslinya:
.
Kemudian
;
.
Dan kami mendapat rumus (A1.1). Oleh karena itu hasilnya tidak berubah.
Menjawab
Contoh 2
Dengan menggunakan turunan logaritma, carilah turunan fungsi tersebut
.
Larutan
Mari kita ambil logaritma:
(A2.1) .
Diferensialkan terhadap variabel x:
;
;
;
;
;
.
Kalikan dengan:
.
Dari sini kita mendapatkan turunan logaritma:
.
Turunan dari fungsi aslinya:
.
Catatan
Di sini fungsi aslinya adalah non-negatif: . Hal ini didefinisikan pada . Jika kita tidak berasumsi bahwa logaritma dapat didefinisikan untuk nilai argumen negatif, maka rumus (A2.1) harus ditulis sebagai berikut:
.
Karena
Dan
,
ini tidak akan mempengaruhi hasil akhir.
Menjawab
Contoh 3
Temukan turunannya
.
Larutan
Kami melakukan diferensiasi menggunakan turunan logaritma. Mari kita ambil logaritma, dengan mempertimbangkan bahwa:
(A3.1) .
Dengan melakukan diferensiasi, kita memperoleh turunan logaritma.
;
;
;
(A3.2) .
Dari dulu
.
Catatan
Mari kita melakukan perhitungan tanpa asumsi bahwa logaritma dapat didefinisikan untuk nilai argumen negatif. Untuk melakukan ini, ambil logaritma modulus fungsi asli:
.
Maka alih-alih (A3.1) kita memiliki:
;
.
Dibandingkan dengan (A3.2) kita melihat bahwa hasilnya tidak berubah.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
