Transformasi ekspresi yang identik merupakan salah satu isi mata kuliah matematika sekolah. Transformasi identik banyak digunakan dalam penyelesaian persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan dan pertidaksamaan. Selain itu, transformasi ekspresi yang identik berkontribusi pada pengembangan kecerdasan, fleksibilitas dan rasionalitas berpikir.
Materi yang diusulkan ditujukan untuk siswa kelas 8 dan mencakup landasan teori transformasi identik ekspresi rasional dan irasional, jenis tugas untuk mengubah ekspresi tersebut dan teks tes.
1. Landasan teori transformasi identitas
Ekspresi dalam aljabar adalah catatan yang terdiri dari angka dan huruf yang dihubungkan dengan tanda tindakan.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – ekspresi aljabar.
Tergantung pada operasinya, ekspresi rasional dan irasional dibedakan.
Ekspresi aljabar disebut rasional jika dikaitkan dengan huruf-huruf yang terkandung di dalamnya A, B, Dengan, ... tidak ada operasi lain yang dilakukan kecuali penjumlahan, perkalian, pengurangan, pembagian dan eksponensial.
Ekspresi aljabar yang berisi operasi mengekstraksi akar suatu variabel atau menaikkan suatu variabel ke pangkat rasional yang bukan bilangan bulat disebut irasional terhadap variabel tersebut.
Transformasi identitas suatu ekspresi tertentu adalah penggantian suatu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik sama pada suatu himpunan tertentu.
Fakta teoretis berikut ini mendasari transformasi ekspresi rasional dan irasional yang identik.
1. Sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat:
, N PADA; A 1=A;
, N PADA, A¹0; A 0=1, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0;
, A¹0, B¹0;
, A¹0, B¹0.
2. Rumus perkalian yang disingkat:
Di mana A, B, Dengan– bilangan real apa pun;
Di mana A¹0, X 1 dan X 2 – akar persamaan 
.
3. Sifat dasar pecahan dan tindakan pada pecahan:
, Di mana B¹0, Dengan¹0;
; 
;
4. Pengertian akar aritmatika dan sifat-sifatnya:
; , B#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; 
,
Di mana A, B– bilangan bukan negatif, N PADA, N³2, M PADA, M³2.
1. Jenis Latihan Konversi Ekspresi
Ada berbagai jenis latihan transformasi identitas ekspresi. Tipe pertama: Konversi yang perlu dilakukan ditentukan secara eksplisit.
Misalnya.
1. Nyatakan sebagai polinomial.
Saat melakukan transformasi ini, kami menggunakan aturan perkalian dan pengurangan polinomial, rumus perkalian yang disingkat, dan pengurangan suku-suku serupa.
2. Faktorkan menjadi: 
.
Saat melakukan transformasi, kami menggunakan aturan menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung dan 2 rumus perkalian yang disingkat.
3. Kurangi pecahan:
.
Saat melakukan transformasi, kami menggunakan penghapusan faktor persekutuan dari tanda kurung, hukum komutatif dan kontraktil, 2 rumus perkalian yang disingkat, dan operasi pangkat.
4. Hapus faktor dari bawah tanda akar jika A³0, B³0, Dengan³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Kami menggunakan aturan tindakan pada akar dan definisi modulus suatu bilangan.
5. Hilangkan irasionalitas pada penyebut pecahan. 
.
Tipe kedua latihan adalah latihan yang menunjukkan dengan jelas transformasi utama yang perlu dilakukan. Dalam latihan seperti itu, persyaratan biasanya dirumuskan dalam salah satu bentuk berikut: sederhanakan ekspresi, hitung. Saat melakukan latihan seperti itu, pertama-tama perlu untuk mengidentifikasi transformasi mana dan dalam urutan apa yang perlu dilakukan sehingga ekspresi memperoleh bentuk yang lebih kompak daripada yang diberikan, atau diperoleh hasil numerik.
Misalnya
6. Sederhanakan ekspresi:
Larutan:
.
Aturan yang digunakan untuk mengoperasikan pecahan aljabar dan rumus perkalian yang disingkat.
7. Sederhanakan ekspresi:
.
Jika A³0, B³0, A¹ B.
Kami menggunakan rumus perkalian yang disingkat, aturan penjumlahan pecahan dan perkalian ekspresi irasional, identitas https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Kami menggunakan operasi pemilihan persegi lengkap, identitas https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, if .
Bukti:
Sejak , maka dan atau atau atau , yaitu .
Kami menggunakan kondisi dan rumus jumlah kubus.
Perlu diingat bahwa kondisi yang menghubungkan variabel juga dapat ditentukan dalam dua jenis latihan pertama.
Misalnya.
10. Temukan jika .
Pelajaran ini akan mencakup informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya, serta contoh transformasi ekspresi rasional. Topik ini merangkum topik-topik yang telah kita pelajari sejauh ini. Transformasi ekspresi rasional melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial pecahan aljabar, reduksi, faktorisasi, dll. Sebagai bagian dari pelajaran, kita akan melihat apa itu ekspresi rasional, dan juga menganalisis contoh transformasinya.
Subjek:Pecahan aljabar. Operasi aritmatika pada pecahan aljabar
Pelajaran:Informasi dasar tentang ekspresi rasional dan transformasinya
Definisi
Ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari bilangan, variabel, operasi aritmatika dan operasi eksponensial.
Mari kita lihat contoh ekspresi rasional:
Kasus khusus ekspresi rasional:
gelar 1: 
;
2. monomial: ;
3. pecahan: .
Mengubah ekspresi rasional adalah penyederhanaan ekspresi rasional. Urutan tindakan saat mentransformasikan ekspresi rasional: pertama ada operasi dalam tanda kurung, kemudian operasi perkalian (pembagian), dan kemudian operasi penjumlahan (pengurangan).
Mari kita lihat beberapa contoh transformasi ekspresi rasional.
Contoh 1
Larutan:
Mari selesaikan contoh ini langkah demi langkah. Tindakan dalam tanda kurung dijalankan terlebih dahulu.
Menjawab:
Contoh 2
Larutan:
Menjawab:
Contoh 3
Larutan:
Menjawab: .
Catatan: Mungkin, ketika Anda melihat contoh ini, muncul ide: kurangi pecahan sebelum mereduksinya menjadi penyebut yang sama. Memang benar: pertama-tama disarankan untuk menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin, dan kemudian mengubahnya. Mari kita coba menyelesaikan contoh yang sama dengan cara kedua.
Seperti yang Anda lihat, jawabannya ternyata sangat mirip, tetapi solusinya ternyata lebih sederhana.
Dalam pelajaran ini kita melihat ekspresi rasional dan transformasinya, serta beberapa contoh spesifik transformasi tersebut.
Bibliografi
1.Bashmakov M.I. Aljabar kelas 8. - M.: Pendidikan, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain Aljabar 8. - edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.
Artikel ini didedikasikan untuk transformasi ekspresi rasional, sebagian besar rasional pecahan, adalah salah satu masalah utama dalam mata pelajaran aljabar kelas 8. Pertama, kita mengingat kembali jenis ekspresi apa yang disebut rasional. Selanjutnya kita akan fokus melakukan transformasi standar dengan ekspresi rasional, seperti mengelompokkan suku-suku, mengeluarkan faktor persekutuan, mengurung suku-suku serupa, dll. Terakhir, kita akan belajar merepresentasikan ekspresi rasional pecahan sebagai pecahan rasional.
Navigasi halaman.
Pengertian dan Contoh Ekspresi Rasional
Ekspresi rasional merupakan salah satu jenis ekspresi yang dipelajari dalam pelajaran aljabar di sekolah. Mari kita beri definisi.
Definisi.
Ekspresi yang terdiri dari bilangan, variabel, tanda kurung, pangkat dengan eksponen bilangan bulat, dihubungkan menggunakan tanda aritmatika +, −, · dan :, yang pembagiannya dapat ditunjukkan dengan garis pecahan, disebut ekspresi rasional.
Berikut adalah beberapa contoh ekspresi rasional: .
Ekspresi rasional mulai dipelajari dengan sengaja di kelas 7. Selain itu, di kelas 7 seseorang mempelajari dasar-dasar bekerja dengan apa yang disebut seluruh ekspresi rasional, yaitu dengan ekspresi rasional yang tidak mengandung pembagian menjadi ekspresi dengan variabel. Untuk melakukan ini, monomial dan polinomial dipelajari secara berurutan, serta prinsip-prinsip melakukan tindakan dengannya. Semua pengetahuan ini pada akhirnya memungkinkan Anda untuk melakukan transformasi seluruh ekspresi.
Di kelas 8, mereka melanjutkan mempelajari ekspresi rasional yang mengandung pembagian dengan ekspresi dengan variabel yang disebut ekspresi rasional pecahan. Dalam hal ini, perhatian khusus diberikan pada apa yang disebut pecahan rasional(mereka juga disebut pecahan aljabar), yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial. Hal ini pada akhirnya memungkinkan untuk mengkonversi pecahan rasional.
Keterampilan yang diperoleh memungkinkan Anda untuk beralih ke transformasi ekspresi rasional dalam bentuk apa pun. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa ekspresi rasional apa pun dapat dianggap sebagai ekspresi yang terdiri dari pecahan rasional dan ekspresi bilangan bulat yang dihubungkan dengan tanda operasi aritmatika. Dan kita sudah mengetahui cara mengerjakan ekspresi bilangan bulat dan pecahan aljabar.
Jenis utama transformasi ekspresi rasional
Dengan ekspresi rasional, Anda dapat melakukan transformasi identitas dasar apa pun, baik itu mengelompokkan suku atau faktor, membawa suku-suku serupa, melakukan operasi dengan angka, dll. Biasanya tujuan melakukan transformasi ini adalah penyederhanaan ekspresi rasional.
Contoh.
.
Larutan.
Jelas bahwa ungkapan rasional ini adalah selisih antara dua ungkapan dan , dan ungkapan-ungkapan ini serupa, karena memiliki bagian huruf yang sama. Dengan demikian, kita dapat melakukan pengurangan suku-suku serupa:
Menjawab:
.
Jelas bahwa ketika melakukan transformasi dengan ekspresi rasional, serta dengan ekspresi lainnya, Anda harus tetap berada dalam urutan tindakan yang diterima.
Contoh.
Lakukan transformasi ekspresi rasional.
Larutan.
Kita tahu bahwa tindakan dalam tanda kurung dieksekusi terlebih dahulu. Oleh karena itu, pertama-tama, kita ubah ekspresi dalam tanda kurung: 3·x−x=2·x.
Sekarang Anda dapat mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi rasional asli: . Jadi kita sampai pada ekspresi yang berisi tindakan satu tahap - penjumlahan dan perkalian.
Mari kita hilangkan tanda kurung di akhir ekspresi dengan menerapkan properti pembagian dengan produk: .
Terakhir, kita dapat mengelompokkan faktor numerik dan faktor dengan variabel x, kemudian melakukan operasi yang sesuai pada angka tersebut dan menerapkan : .
Ini menyelesaikan transformasi ekspresi rasional, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan monomial.
Menjawab:
Contoh.
Konversi ekspresi rasional 
.
Larutan.
Pertama kita ubah pembilang dan penyebutnya. Urutan transformasi pecahan ini dijelaskan oleh fakta bahwa garis pecahan pada dasarnya adalah sebutan lain untuk pembagian, dan ekspresi rasional awal pada dasarnya adalah hasil bagi dari bentuk 
, dan tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.
Jadi, di pembilangnya kita melakukan operasi dengan polinomial, pertama perkalian, lalu pengurangan, dan di penyebut kita mengelompokkan faktor numerik dan menghitung produknya: 
.
Mari kita bayangkan juga pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan dalam bentuk produk: tiba-tiba pecahan aljabar dapat direduksi. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan pembilangnya rumus selisih kuadrat, dan di penyebutnya kita keluarkan keduanya dari tanda kurung, kita punya 
.
Menjawab:
.
Jadi, perkenalan awal dengan transformasi ekspresi rasional dapat dianggap selesai. Mari kita lanjutkan ke bagian yang paling manis.
Representasi pecahan rasional
Seringkali, tujuan akhir mengubah ekspresi adalah untuk menyederhanakan penampilannya. Dalam hal ini, bentuk paling sederhana yang dapat mengubah ekspresi rasional pecahan adalah pecahan rasional (aljabar), dan dalam kasus tertentu polinomial, monomial, atau bilangan.
Apakah mungkin untuk menyatakan ekspresi rasional apa pun sebagai pecahan rasional? Jawabannya iya. Mari kita jelaskan mengapa demikian.
Seperti yang telah kami katakan, setiap ekspresi rasional dapat dianggap sebagai polinomial dan pecahan rasional yang dihubungkan dengan tanda plus, minus, perkalian, dan pembagian. Semua operasi yang bersesuaian dengan polinomial menghasilkan pecahan polinomial atau rasional. Pada gilirannya, polinomial apa pun dapat diubah menjadi pecahan aljabar dengan menuliskannya dengan penyebut 1. Dan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan rasional menghasilkan pecahan rasional baru. Oleh karena itu, setelah melakukan semua operasi dengan polinomial dan pecahan rasional dalam ekspresi rasional, kita mendapatkan pecahan rasional.
Contoh.
Ekspresikan ekspresi tersebut sebagai pecahan rasional 
.
Larutan.
Ekspresi rasional asli adalah selisih antara pecahan dan hasil kali pecahan dari bentuknya 
. Berdasarkan urutan operasinya, kita harus melakukan perkalian terlebih dahulu, baru kemudian melakukan penjumlahan.
Kita mulai dengan mengalikan pecahan aljabar:
Kami mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi rasional asli: .
Kita sampai pada pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda: 
Jadi, setelah melakukan operasi dengan pecahan rasional yang membentuk ekspresi rasional asli, kami menyajikannya dalam bentuk pecahan rasional.
Menjawab:
.
Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi pada contoh lain.
Contoh.
Nyatakan ekspresi rasional sebagai pecahan rasional.
Artikel ini membahas tentang transformasi ekspresi rasional. Mari kita perhatikan jenis-jenis ekspresi rasional, transformasinya, pengelompokannya, dan mengurung faktor persekutuannya. Mari belajar merepresentasikan ekspresi rasional pecahan dalam bentuk pecahan rasional.
Yandex.RTB RA-339285-1
Pengertian dan Contoh Ekspresi Rasional
Definisi 1Ekspresi yang terdiri dari bilangan, variabel, tanda kurung, pangkat dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dengan adanya garis pecahan disebut ekspresi rasional.
Misalnya, kita mempunyai 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · kamu · 2 - 1 11 · x 3 .
Artinya, ini adalah ekspresi yang tidak dapat dibagi menjadi ekspresi dengan variabel. Pembelajaran ekspresi rasional dimulai di kelas 8 yang disebut ekspresi rasional pecahan.Perhatian khusus diberikan pada pecahan pada pembilangnya, yang ditransformasikan menggunakan aturan transformasi.
Hal ini memungkinkan kita untuk melanjutkan ke transformasi pecahan rasional dalam bentuk sembarang. Ekspresi seperti itu dapat dianggap sebagai ekspresi dengan adanya pecahan rasional dan ekspresi bilangan bulat dengan tanda tindakan.
Jenis utama transformasi ekspresi rasional
Ekspresi rasional digunakan untuk melakukan transformasi identik, pengelompokan, membawa yang serupa, dan melakukan operasi lain dengan bilangan. Tujuan dari ekspresi tersebut adalah penyederhanaan.
Contoh 1
Konversikan persamaan rasional 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Larutan
Terlihat ekspresi rasional tersebut adalah selisih antara 3 x x y - 1 dan 2 x x y - 1. Kami memperhatikan bahwa penyebutnya identik. Artinya pengurangan suku-suku serupa akan berbentuk
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Menjawab: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Contoh 2
Konversi 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Larutan
Awalnya, kita melakukan tindakan dalam tanda kurung 3 · x − x = 2 · x. Ekspresi ini kita nyatakan dalam bentuk 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Kita sampai pada ekspresi yang berisi operasi dengan satu langkah, yaitu penambahan dan pengurangan.
Kita menghilangkan tanda kurung dengan menggunakan properti pembagian. Maka kita mendapatkan bahwa 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.
Kami mengelompokkan faktor numerik dengan variabel x, setelah itu kami dapat melakukan operasi dengan pangkat. Kami mengerti
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Menjawab: 2 x kamu 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 kamu 4.
Contoh 3
Ubah ekspresi menjadi x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Larutan
Pertama, kita ubah pembilang dan penyebutnya. Kemudian kita memperoleh ekspresi dalam bentuk (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, dan tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu. Di pembilang, operasi dilakukan dan faktor dikelompokkan. Kemudian kita memperoleh ekspresi dalam bentuk x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Kita ubah rumus selisih kuadrat menjadi pembilangnya, lalu kita peroleh
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Menjawab: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Representasi pecahan rasional
Pecahan aljabar paling sering disederhanakan saat diselesaikan. Setiap rasional dibawa ke sini dengan cara yang berbeda. Semua operasi yang diperlukan dengan polinomial harus dilakukan agar ekspresi rasional pada akhirnya dapat menghasilkan pecahan rasional.
Contoh 4
Disajikan sebagai pecahan rasional a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Larutan
Ekspresi ini dapat direpresentasikan sebagai 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Perkalian dilakukan terutama sesuai aturan.
Kita harus mulai dengan perkalian, lalu kita mendapatkannya
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Hasil yang diperoleh kami sajikan dengan yang asli. Kami mengerti
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Sekarang mari kita lakukan pengurangan:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 dan 2 - 9
Setelah itu jelas bahwa ekspresi aslinya akan berbentuk 16 a 2 - 9.
Menjawab: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Contoh 5
Nyatakan x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x sebagai pecahan rasional.
Larutan
Ekspresi yang diberikan ditulis sebagai pecahan, yang pembilangnya adalah x x + 1 + 1, dan penyebutnya 2 x - 1 1 + x. Transformasi x x + 1 + 1 perlu dilakukan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan pecahan dan angka. Kita peroleh bahwa x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Maka x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Pecahan yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
Setelah pembagian kita sampai pada bentuk pecahan rasional
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Anda dapat menyelesaikannya secara berbeda.
Daripada membaginya dengan 2 x - 1 1 + x, kita kalikan dengan inversnya 1 + x 2 x - 1. Mari kita terapkan properti distribusi dan temukan itu
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Menjawab: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
